波と光学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.ばねと振り子ふつう

周期が 0.8 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

2.ばねと振り子むずかしい

k = 210 N/m のばねにつけた質量 1.4 kg の物体を、つり合いの位置から 11 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 1.4 kgk = 210 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

3.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 60 dB になります。同一の機械 2 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 60 dBn = 2

β = dB

4.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.46、クラッドは n₂ = 1.36 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.46n₂ = 1.36

NA =

3溶液

1.ばねと振り子

答え: L = 0.159 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答え

L = 0.159 m

2.ばねと振り子

答え: a_max = 16.5 m/s²

角周波数

ω = √(210/1.4) = 12.25 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.11·12.25² = 16.5 m/s²

答え

a_max = 16.5 m/s²

3.波・音・光学

答え: β = 63.01 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 2·I₁

レベル

β = 60 + 10·log₁₀(2) = 63.01 dB

答え

β = 63.01 dB

4.波・音・光学

答え: NA = 0.531

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.36/1.46 = 0.9315 → θc = 68.67°

開口数

NA = √(1.46² − 1.36²) = 0.531

答え

NA = 0.531

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