ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 380 N/m のばねにつけた質量 2.3 kg のおもりを正の向きに 3 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.75 s での速度 v を符号をつけて求めよ。
m = 2.3 kgk = 380 N/mA = 3 cmt = 0.75 s
v = m/s
2.ばねと振り子むずかしい
k = 310 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 19 cm で振動する。 つり合いの位置から 10 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。
k = 310 N/mA = 19 cmx = 10 cm
K = J
3.波・音・光学ふつう
高さ 1.5 cm の物体が、焦点距離 10 cm の薄い 発散 レンズの 60 cm 前にあります。像の高さ hi を求めてください（倒立像では負）。
ho = 1.5 cmdo = 60 cmf = −10 cm
hi = cm
4.波・音・光学むずかしい
波長 633 nm の光が、1 ミリメートルあたり 600 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ1 を求めてください。
N = 600 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1
θ1 = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: v = 0.08245 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(380/2.3) = 12.85 rad/s
ω·t = 12.85·0.75 = 9.64 rad
速度
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·12.85·sin(9.64) = 0.08245 m/s
答え
v = 0.08245 m/s
2.ばねと振り子
答え: K = 4.045 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·310·0.19² = 5.596 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·310·0.1² = 1.55 J
運動エネルギー
K = 5.596 − 1.55 = 4.045 J
答え
K = 4.045 J
3.波・音・光学
答え: hi = 0.2143 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
薄いレンズの式
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−10) − 1/60
di = −8.571 cm
倍率と高さ
m = −(−8.571)/60 = 0.1429
hi = 0.1429·1.5 = 0.2143 cm
答え
hi = 0.2143 cm
4.波・音・光学
答え: θ1 = 22.32 °
干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。
線の間隔
d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m
回折格子の式
sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.3798
θ = 22.32°
答え
θ1 = 22.32°
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