ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 160 N/m のばねにつけた質量 1.5 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 17 cm で振動する。つり合いの位置から 11 cm のところでの速さ v を求めよ。
m = 1.5 kgk = 160 N/mA = 17 cmx = 11 cm
v = m/s
2.ばねと振り子むずかしい
k = 370 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 14 cm で振動する。 つり合いの位置から 10 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。
k = 370 N/mA = 14 cmx = 10 cm
K = J
3.波・音・光学ふつう
物体が、焦点距離 15 cm の薄い 収束 レンズの 50 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。
do = 50 cmf = 15 cm
m =
4.波・音・光学むずかしい
2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 50 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 8 cm、レンズ 2 は f₂ = −15 cm です。物体はレンズ 1 の 25 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 di2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。
f1 = 8 cmf2 = −15 cms = 50 cmdo = 25 cm
di2 = cm
3溶液
1.ばねと振り子
答え: v = 1.339 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(160/1.5) = 10.33 rad/s
x での速さ
v = ω·√(A² − x²) = 10.33·√(0.17² − 0.11²) = 1.339 m/s
答え
v = 1.339 m/s
2.ばねと振り子
答え: K = 1.776 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·370·0.14² = 3.626 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·370·0.1² = 1.85 J
運動エネルギー
K = 3.626 − 1.85 = 1.776 J
答え
K = 1.776 J
3.波・音・光学
答え: m = −0.4286
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
薄いレンズの式
1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/50
di = 21.43 cm
倍率
m = −di/do = −21.43/50 = −0.4286
答え
m = −0.4286
4.波・音・光学
答え: di2 = −10.77 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
レンズ 1 による像
1/di1 = 1/8 − 1/25 → di1 = 11.76 cm
レンズ 2 の物体
do2 = 50 − 11.76 = 38.24 cm
最終的な像
1/di2 = 1/(−15) − 1/38.24 → di2 = −10.77 cm
答え
di2 = −10.77 cm
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