ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
k = 110 N/m のばねにつけた質量 0.4 kg のおもりを正の向きに 12 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.4 s での速度 v を符号をつけて求めよ。
m = 0.4 kgk = 110 N/mA = 12 cmt = 0.4 s
v = m/s
2.ばねと振り子むずかしい
k = 290 N/m のばねにつけた質量 2.7 kg の物体を、つり合いの位置から 16 cm 引いて静かに放す。 振動の全エネルギー E を求めよ。
m = 2.7 kgk = 290 N/mA = 16 cm
E = J
3.波・音・光学ふつう
高さ 4 cm の物体が、焦点距離 8 cm の薄い 収束 レンズの 6 cm 前にあります。像の高さ hi を求めてください（倒立像では負）。
ho = 4 cmdo = 6 cmf = 8 cm
hi = cm
4.波・音・光学むずかしい
2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 15 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 12 cm、レンズ 2 は f₂ = −10 cm です。物体はレンズ 1 の 18 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 di2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。
f1 = 12 cmf2 = −10 cms = 15 cmdo = 18 cm
di2 = cm
3溶液
1.ばねと振り子
答え: v = −0.6825 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(110/0.4) = 16.58 rad/s
ω·t = 16.58·0.4 = 6.633 rad
速度
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.12·16.58·sin(6.633) = −0.6825 m/s
答え
v = −0.6825 m/s
2.ばねと振り子
答え: E = 3.712 J
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
角周波数
ω = √(290/2.7) = 10.36 rad/s
エネルギー
E = ½·k·A² = ½·290·0.16² = 3.712 J
答え
E = 3.712 J
3.波・音・光学
答え: hi = 16 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
薄いレンズの式
1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/6
di = −24 cm
倍率と高さ
m = −(−24)/6 = 4
hi = 4·4 = 16 cm
答え
hi = 16 cm
4.波・音・光学
答え: di2 = −19.09 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
レンズ 1 による像
1/di1 = 1/12 − 1/18 → di1 = 36 cm
レンズ 2 の物体
do2 = 15 − 36 = −21 cm
最終的な像
1/di2 = 1/(−10) − 1/(−21) → di2 = −19.09 cm
答え
di2 = −19.09 cm
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