ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1 m の単振り子の小さな振れの周期が 2.11 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。
L = 1 mT = 2.11 s
g = m/s²
2.ばねと振り子むずかしい
k = 170 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 15 cm で振動する。 つり合いの位置から 7 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。
k = 170 N/mA = 15 cmx = 7 cm
K = J
3.波・音・光学ふつう
物体が、焦点距離 25 cm の薄い 発散 レンズの 50 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。
do = 50 cmf = −25 cm
m =
4.波・音・光学むずかしい
静止している駐車センサーが、15 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。
f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3溶液
1.ばねと振り子
答え: g = 8.867 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
g について解く
g = 4π²·L/T² = 4π²·1/2.11² = 8.867 m/s²
答え
g = 8.867 m/s²
2.ばねと振り子
答え: K = 1.496 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·170·0.15² = 1.912 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·170·0.07² = 0.4165 J
運動エネルギー
K = 1.912 − 0.4165 = 1.496 J
答え
K = 1.496 J
3.波・音・光学
答え: m = 0.3333
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
薄いレンズの式
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−25) − 1/50
di = −16.67 cm
倍率
m = −di/do = −(−16.67)/50 = 0.3333
答え
m = 0.3333
4.波・音・光学
答え: f″ = 43659 Hz
定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。
車での振動数
f′ = 40000·(343 + 15)/343 = 41749 Hz
エコーの振動数
f″ = f′·343/(343 − 15) = 43659 Hz
答え
f″ = 43659 Hz
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