波と光学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ばねと振り子

ばね振り子
T = 2π·√(m/k)
単振り子
T = 2π·√(L/g)
角周波数
ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
エネルギー
E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.ばねと振り子ふつう
L = ?

周期が 1.3 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.ばねと振り子むずかしい
1.5 kgk = 1000 N/m150 m/s

150 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1000 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 150 m/sM = 1.5 kgk = 1000 N/m
A = cm
3.波・音・光学ふつう
L = 1.2 mn = 1

両端が開いた管 の長さは 1.2 m です。音速は 343 m/s です。その 基本振動（第 1 倍音） の振動数 f1 を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 1.2 m
f1 = Hz
4.波・音・光学むずかしい
λ = 450 nmθ3​ = ?

波長 450 nm の光が、1 ミリメートルあたり 200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 3 の極大の角度 θ3 を求めてください。

N = 200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 3
θ3 = °

3溶液

1.ばねと振り子

答え: L = 0.4199 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答え

L = 0.4199 m
2.ばねと振り子

答え: A = 5.781 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·150/1.515 = 1.485 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/1.515) = 25.69 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.485/25.69 = 0.05781 m = 5.781 cm

答え

A = 5.781 cm
3.波・音・光学

答え: f1 = 142.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.2/1 = 2.4 m

振動数

f = v/λ = 343/2.4 = 142.9 Hz

答え

f1 = 142.9 Hz
4.波・音・光学

答え: θ3 = 15.66 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 3·450 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.27
θ = 15.66°

答え

θ3 = 15.66°

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