ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
長さ 2 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。
L = 2 mg = 9.81 m/s²
T = s
2.ばねと振り子むずかしい
250 m/s で動く質量 8 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 500 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。
m = 8 gv = 250 m/sM = 1.5 kgk = 500 N/m
A = cm
3.波・音・光学ふつう
20 m/s で動く 400 Hz の音源と、20 m/s で動く観測者が、互いに近づいています。 音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。
f = 400 Hzv = 343 m/svs = 20 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.波・音・光学むずかしい
物体が、曲率半径 10 cm の 凸面 鏡の 20 cm 前にあります。像の距離 di を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。
do = 20 cmR = 10 cm
di = cm
3溶液
1.ばねと振り子
答え: T = 2.837 s
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
振り子の周期
T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s
答え
T = 2.837 s
2.ばねと振り子
答え: A = 7.284 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
衝突後の速さ
V = m·v/(m + M) = 0.008·250/1.508 = 1.326 m/s
角周波数
ω = √(k/(m + M)) = √(500/1.508) = 18.21 rad/s
振幅
A = V/ω = 1.326/18.21 = 0.07284 m = 7.284 cm
答え
A = 7.284 cm
3.波・音・光学
答え: f′ = 449.5 Hz
定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。
ドップラーの公式
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 20)/(343 − 20)
f′ = 449.5 Hz
答え
f′ = 449.5 Hz
4.波・音・光学
答え: di = −4 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
焦点距離
f = −R/2 = −5 cm
鏡の式
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/20
di = −4 cm
光線図
鏡の後ろにできる虚像
答え
di = −4 cm
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