ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.4 m の単振り子の小さな振れの周期が 2.5 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。
L = 1.4 mT = 2.5 s
g = m/s²
2.ばねと振り子むずかしい
k = 300 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 15 cm で振動する。 つり合いの位置から 9 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。
k = 300 N/mA = 15 cmx = 9 cm
K = J
3.波・音・光学ふつう
物体が、焦点距離 25 cm の薄い 収束 レンズの 20 cm 前にあります。像の距離 di を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/do + 1/di を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では di < 0）。
do = 20 cmf = 25 cm
di = cm
4.波・音・光学むずかしい
光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.47 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θa を求めてください。
n1 = 1.55n2 = 1.47n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: g = 8.843 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
g について解く
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/2.5² = 8.843 m/s²
答え
g = 8.843 m/s²
2.ばねと振り子
答え: K = 2.16 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·300·0.15² = 3.375 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·300·0.09² = 1.215 J
運動エネルギー
K = 3.375 − 1.215 = 2.16 J
答え
K = 2.16 J
3.波・音・光学
答え: di = −100 cm
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
薄いレンズの式
1/di = 1/f − 1/do = 1/25 − 1/20
di = −100 cm
光線図
虚像、物体と同じ側
答え
di = −100 cm
4.波・音・光学
答え: θa = 29.44 °
幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。
クラッドでの臨界角
sin θc = 1.47/1.55 = 0.9484 → θc = 71.51°
開口数
NA = √(1.55² − 1.47²) = 0.4915
受光角
θa = arcsin(0.4915) = 29.44°
答え
θa = 29.44°
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