ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
波と光学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
波・音・光学
- 波の速さ
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 音の強さのレベル
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点音源
- I = P/(4πr²)
- 定常波
- 弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
- ドップラー効果
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 屈折率
- n = c/v, λ = λ0/n
- スネルの法則
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 臨界角
- sin θc = n2/n1
- 光ファイバー
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- レンズと鏡
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 二重スリット
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 回折格子
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 単スリット
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
解き方
- 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
- まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
- 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
- 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。
2演習問題
1.ばねと振り子ふつう
別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.6 m の単振り子の小さな振れの周期が 6.24 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。
L = 1.6 mT = 6.24 s
g = m/s²
2.ばねと振り子むずかしい
k = 240 N/m のばねにつけた質量 3 kg の物体を、つり合いの位置から 19 cm 引いて静かに放す。 最大の速さ vmax を求めよ。
m = 3 kgk = 240 N/mA = 19 cm
vmax = m/s
3.波・音・光学ふつう
小さなスピーカーが、あらゆる方向に均等に 5 W の音のパワーを放射します。2 m の距離での音の強さのレベル β を求めてください。
P = 5 Wr = 2 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.波・音・光学むずかしい
波長 656 nm の光が、1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ2 を求めてください。
N = 300 mm⁻¹λ = 656 nmm = 2
θ2 = °
3溶液
1.ばねと振り子
答え: g = 1.622 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
g について解く
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/6.24² = 1.622 m/s²
答え
g = 1.622 m/s²
2.ばねと振り子
答え: vmax = 1.699 m/s
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
角周波数
ω = √(240/3) = 8.944 rad/s
最大の速さ
vmax = A·ω = 0.19·8.944 = 1.699 m/s
答え
vmax = 1.699 m/s
3.波・音・光学
答え: β = 110 dB
波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。
強さ
I = P/(4πr²) = 0.09947 W/m²
レベル
β = 10·log₁₀(0.09947/10⁻¹²) = 110 dB
答え
β = 110 dB
4.波・音・光学
答え: θ2 = 23.18 °
干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。
線の間隔
d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m
回折格子の式
sin θ = mλ/d = 2·656 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.3936
θ = 23.18°
答え
θ2 = 23.18°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics