AP Statistics 연습 문제: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 33, 40, 32, 11, 22.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 40보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 5x = 40

P =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 6개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

6 / 6

P =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.3k = 5

P =

5.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 111.4 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111.4 s

P =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 112Σx² = 55Σy² = 2572Σxy = 311

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 45을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 45

x =

9.신뢰구간보통

관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 11.8이다. 같은 연구에서 관측값을 900개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 100E₁ = 11.8n₂ = 900

E₂ =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 22입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 22E = 2.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 100이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 7.5로 알려져 있다. 관측값 25개의 확률 표본의 평균은 101.62이다. H₀: μ = 100 대 H₁: μ > 100을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 100σ = 7.5n = 25x̄ = 101.62H₁: μ > μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 300명 중 180명, 치료 B를 받은 환자 150명 중 80명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 80n₂ = 150

z =

13.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1002 × 3

χ² =

14.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 5개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.기술통계

답: s = 10.35

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 160/6 = 26.67

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−4.667)² + 6.333² + 13.33² + 5.333² + (−15.67)² + (−4.667)² = 535.3

표준편차

s = √(535.3/5) = 10.35

답

s = 10.35

2.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

3.확률

답: P = 0.2273

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273

답

P = 0.2273

4.확률

답: P = 0.1029

이항분포 공식

P(X = 5) = 252·0.3⁵·0.7⁵ = 252·0.00243·0.1681 = 0.1029

답

P = 0.1029

5.정규분포

답: P = 0.1587

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (111.4 − 105)/6.403 = 1

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

답

P = 0.1587

6.정규분포

답: x = 194.3 cm

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm

답

x = 194.28 cm

7.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9944

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 311 − 15·112/5 = −25

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2572 − 112²/5 = 63.2

상관계수

r = −25/√(10·63.2) = −0.9944

답

r = −0.9944

8.선형 회귀와 상관

답: x = 15.44

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 333/5 = 66.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426

회귀직선

b = 426/90 = 4.733

a = 66.6 − 4.733·20 = −28.07

ŷ = −28.07 + 4.733·x

x 구하기

x = (45 − (−28.07))/4.733 = 15.44

답

x = 15.44

9.신뢰구간

답: E₂ = 3.933

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/900) = 0.3333

새 오차 한계

E₂ = 11.8·0.3333 = 3.933

답

E₂ = 3.933

10.신뢰구간

답: n = 210

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·22/2.5)² = 209.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 210

답

n = 210

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 7.5/√25 = 1.5

z = (101.62 − 100)/1.5 = 1.08

꼬리 면적

Φ(1.08) = 0.8599

1 − Φ(1.08) = 0.1401

p값

p = 0.1401

답

p = 0.1401

p > 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 1.35

표본 비율

p̂₁ = 180/300 = 0.6

p̂₂ = 80/150 = 0.5333

p̂ = 260/450 = 0.5778

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.5778·0.4222·(1/300 + 1/150)) = 0.04939

검정통계량

z = (0.6 − 0.5333)/0.04939 = 1.35

답

z = 1.35

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

13.카이제곱 검정

답: χ² = 21.08

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24

농촌: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16

카이제곱 통계량

χ² = (13 − 18)²/18 + (12 − 18)²/18 + (35 − 24)²/24 + (17 − 12)²/12 + (18 − 12)²/12 + (5 − 16)²/16

χ² = 21.08

답

χ² = 21.08

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

14.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 11.35

자유도

df = 5 − 1 − 1 = 3

표

χ²_crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345

답

χ²_crit = 11.345

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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