AP Statistics 연습 문제: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 16, 51, 51, 19, 37.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 44보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 20x = 44

P =

3.확률보통

12명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 12k = 2

N =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €5이 듭니다. 확률 0.25로 €25을, 확률 0.05로 €250을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €5€25: p = 0.25€250: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.6319이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6319

z =

6.정규분포어려움

한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 141Σy = 842Σx² = 3471Σy² = 124244Σxy = 20762

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 73을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 73

x =

9.신뢰구간보통

환자 16명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 −7.8, 표준 편차는 2.3이다. 평균 차이에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n = 16d̄ = −7.8s_d = 2.395%t(15) = 2.131

E = mmHg

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 34입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 34E = 1.595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 499.3, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 499.3s = 4n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 99.8입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 99.8σ = 5n = 10099%

U =

13.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 결함 없음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 117열 합계 = 68N = 183

E =

14.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.기술통계

답: s = 16.83

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 174/5 = 34.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−18.8)² + 16.2² + 16.2² + (−15.8)² + 2.2² = 1133

표준편차

s = √(1133/4) = 16.83

답

s = 16.83

2.기술통계

답: P = 0.2119

표준화하기

z = −0.8

표준정규분포표

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

답

P = 0.2119

3.확률

답: N = 66

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

답

N = 66

4.확률

답: E(G) = 13.75 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 20 (p = 0.25), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.7)

기댓값

E(G) = 20·0.25 + 245·0.05 − 5·0.7 = 13.75 €

답

E(G) = 13.75 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: z = 0.9

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.6319)/2 = 0.8159

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8159을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.90

답

z = 0.90

6.정규분포

답: P = 0.7389

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

표준화하기

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

확률

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

답

P = 0.7389

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9961

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 20762 − 141·842/6 = 975

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157.5

S_yy = 124244 − 842²/6 = 6083

상관계수

r = 975/√(157.5·6083) = 0.9961

답

r = 0.9961

8.선형 회귀와 상관

답: x = 5.409

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 356/5 = 71.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

회귀직선

b = 44/10 = 4.4

a = 71.2 − 4.4·5 = 49.2

ŷ = 49.2 + 4.4·x

x 구하기

x = (73 − 49.2)/4.4 = 5.409

답

x = 5.409

9.신뢰구간

답: E = 1.225 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 15, t = 2.131

오차 한계

E = 2.131·2.3/√16 = 1.225

답

E = 1.225 mmHg

10.신뢰구간

답: n = 1974

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·34/1.5)² = 1974

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1974

답

n = 1974

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

검정통계량

t = (499.3 − 500)/0.5 = −1.4

답

t = −1.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 101.1

오차 한계

E = 2.576·5/√100 = 1.288

구간 끝값

U = 99.8 + 1.288 = 101.1

답

U = 101.1

13.카이제곱 검정

답: E = 43.48

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 117·68/183 = 43.48

답

E = 43.48

14.카이제곱 검정

답: χ² = 23.25

기대 도수

18–30세: 16, 24

31–50세: 40, 60

51세 이상: 40, 60

카이제곱 통계량

χ² = (22 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24 + (52 − 40)²/40 + (48 − 60)²/60 + (22 − 40)²/40 + (78 − 60)²/60

χ² = 23.25

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

23.25 > 5.991

답

χ² = 23.25

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice