AP Statistics 연습 문제: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 42, 30, 52, 57, 17, 16.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 62보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

3.확률보통

공정한 주사위를 7번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 7

P =

4.확률어려움

부품 6개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.4로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.4

P =

5.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 452에서 522 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 522

P =

6.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 75%

x = 점

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 33Σy = 404Σx² = 199Σy² = 27498Σxy = 2292

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 54을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 54

x =

9.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 105, 표준편차는 s = 1입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 11x̄ = 105s = 195%t(10) = 2.228

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 30개의 지름의 표본 표준 편차는 2.6 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 29에서 χ² 분포의 2.5%는 16.047 아래에, 2.5%는 45.722 위에 있다.

n = 30s = 2.6 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 7명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 4.42, 차이의 표준 편차는 9이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 7d̄ = 4.42s_d = 9

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 50.6입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 50.6σ = 4n = 6499%

L =

13.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 2

χ² =

14.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.기술통계

답: s = 17.49

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 214/6 = 35.67

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 6.333² + (−5.667)² + 16.33² + 21.33² + (−18.67)² + (−19.67)² = 1529

표준편차

s = √(1529/5) = 17.49

답

s = 17.49

2.기술통계

답: P = 0.1587

표준화하기

z = 1

표준정규분포표

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

답

P = 0.1587

3.확률

답: P = 0.7209

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

답

P = 0.7209

4.확률

답: P = 0.2333

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.6⁶ = 0.04666

P(X = 1) = 6·0.4·0.6⁵ = 0.1866

더하기

P = 0.04666 + 0.1866 = 0.2333

답

P = 0.2333

5.정규분포

답: P = 0.5938

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2

z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55

사이의 넓이

P = Φ(0.55) − Φ(−1.2) = 0.7088 − 0.1151 = 0.5938

답

P = 0.5938

6.정규분포

답: x = 71.75 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 점

답

x = 71.75 점

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9737

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 2292 − 33·404/6 = 70

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 27498 − 404²/6 = 295.3

상관계수

r = 70/√(17.5·295.3) = 0.9737

답

r = 0.9737

8.선형 회귀와 상관

답: x = 2.516

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 367/6 = 61.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127.5

회귀직선

b = 127.5/17.5 = 7.286

a = 61.17 − 7.286·3.5 = 35.67

ŷ = 35.67 + 7.286·x

x 구하기

x = (54 − 35.67)/7.286 = 2.516

답

x = 2.516

9.신뢰구간

답: 상한 = 105.7

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 2.228

오차 한계

E = 2.228·1/√11 = 0.6718

구간

105 ± 0.6718 → [104.3, 105.7]

답

상한 = 105.7

10.신뢰구간

답: σ = 2.071 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 29·2.6² = 196

σ²의 한계

196/45.722 = 4.288

196/16.047 = 12.22

σ의 한계

σ = √4.288 = 2.071 µm

답

σ = 2.071 µm

σ의 95% 구간: [2.071, 3.495] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.299

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 9/√7 = 3.402

검정통계량

t = 4.42/3.402 = 1.299

답

t = 1.299

df = 6에서 양측 5% 임곗값은 2.447입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 49.31

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 2.576·4/√64 = 1.288

구간 끝값

L = 50.6 − 1.288 = 49.31

답

L = 49.31

13.카이제곱 검정

답: χ² = 0.5556

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42

위약: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56

카이제곱 통계량

χ² = (16 − 18)²/18 + (44 − 42)²/42 + (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56

χ² = 0.5556

답

χ² = 0.5556

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

14.카이제곱 검정

답: χ² = 33.75

기대 도수

1라인: 48, 32

2라인: 48, 32

3라인: 24, 16

카이제곱 통계량

χ² = (54 − 48)²/48 + (26 − 32)²/32 + (58 − 48)²/48 + (22 − 32)²/32 + (8 − 24)²/24 + (32 − 16)²/16

χ² = 33.75

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

33.75 > 5.991

답

χ² = 33.75

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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