AP Statistics 연습 문제: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 52, 49, 15, 56, 51, 40.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 54.8보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 8x = 54.8

P =

3.확률보통

10명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 3

N =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.5k = 4

P =

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 62.5에서 75.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 75.5

P =

6.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 70%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 42Σy = 150Σx² = 364Σy² = 4348Σxy = 1254

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 8일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 8

ŷ =

9.신뢰구간보통

관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 2이다. 같은 연구에서 관측값을 900개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

95%n₁ = 100E₁ = 2n₂ = 900

E₂ =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 14입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 14E = 0.599%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 199.4, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 199.4s = 4n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 498.6입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 498.6σ = 20n = 10095%

U =

13.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 802 × 2

χ² =

14.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.기술통계

답: s = 15.18

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 290/7 = 41.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−14.43)² + 10.57² + 7.571² + (−26.43)² + 14.57² + 9.571² + (−1.429)² = 1382

표준편차

s = √(1382/6) = 15.18

답

s = 15.18

2.기술통계

답: P = 0.2743

표준화하기

z = 0.6

표준정규분포표

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

답

P = 0.2743

3.확률

답: N = 120

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

답

N = 120

4.확률

답: P = 0.1563

이항분포 공식

P(X = 4) = 5·0.5⁴·0.5¹ = 5·0.0625·0.5 = 0.1563

답

P = 0.1563

5.정규분포

답: P = 0.4518

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05

사이의 넓이

P = Φ(1.05) − Φ(−0.25) = 0.8531 − 0.4013 = 0.4518

답

P = 0.4518

6.정규분포

답: x = 247.4 g

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.3

표에서 구한 z

z ≈ −0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g

답

x = 247.4 g

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9971

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1254 − 42·150/6 = 204

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4348 − 150²/6 = 598

상관계수

r = 204/√(70·598) = 0.9971

답

r = 0.9971

8.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 69.08

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 374/6 = 62.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

회귀직선

b = 236/70 = 3.371

a = 62.33 − 3.371·6 = 42.1

ŷ = 42.1 + 3.371·x

예측

ŷ = 42.1 + 3.371·8 = 69.08

답

ŷ = 69.08

9.신뢰구간

답: E₂ = 0.6667

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(100/900) = 0.3333

새 오차 한계

E₂ = 2·0.3333 = 0.6667

답

E₂ = 0.6667

10.신뢰구간

답: n = 5203

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·14/0.5)² = 5202

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 5203

답

n = 5203

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.35

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

검정통계량

t = (199.4 − 200)/0.4444 = −1.35

답

t = −1.35

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 502.5

오차 한계

E = 1.96·20/√100 = 3.92

구간 끝값

U = 498.6 + 3.92 = 502.5

답

U = 502.5

13.카이제곱 검정

답: χ² = 0.9524

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28

여성: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 12)²/12 + (26 − 28)²/28 + (10 − 12)²/12 + (30 − 28)²/28

χ² = 0.9524

답

χ² = 0.9524

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

14.카이제곱 검정

답: χ² = 32.41

기대 도수

1라인: 60, 20

2라인: 45, 15

3라인: 75, 25

카이제곱 통계량

χ² = (78 − 60)²/60 + (2 − 20)²/20 + (38 − 45)²/45 + (22 − 15)²/15 + (64 − 75)²/75 + (36 − 25)²/25

χ² = 32.41

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

32.41 > 9.210

답

χ² = 32.41

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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