기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 35, 13, 26, 60, 25.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 53보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 50σ = 5x = 53
P =
3.확률보통
공정한 주사위를 2번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?
n = 2
P =
4.확률어려움
X의 분포가 표와 같고 Y = 10X + 1입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.15, 0.2Y = 10X + 1
σY =
5.정규분포보통
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 246.25에서 252.75 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 250σ = 5x1 = 246.25x2 = 252.75
P =
6.정규분포어려움
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 100σ = 15P = 20%
x = 점
7.신뢰구간보통
관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 2이다. 관측값 200개에 근거한 95% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 100E₁ = 295%n₂ = 200
E₂ =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 11입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 11E = 2.595%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 49명 표본의 평균 점수는 121.2, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 12n = 49
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 80 대 H₁: μ < 80의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 79.15이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 80μ = 79.15σ = 5n = 100α = 0.10
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 30Σy = 298Σx² = 220Σy² = 18424Σxy = 1948
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5, 23)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(5, 23)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 17.6
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 159/5 = 31.8
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 3.2² + (−18.8)² + (−5.8)² + 28.2² + (−6.8)² = 1239
표준편차
s = √(1239/4) = 17.6
답
s = 17.6
2.기술통계
답: P = 0.2743
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 0.6
표준정규분포표
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
답
P = 0.2743
3.확률
답: P = 0.3056
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
여사건
P(6이 안 나옴) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
답
P = 0.3056
4.확률
답: σY = 14.92
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
X의 퍼짐
μ = 1.85, Var(X) = 2.228, σX = 1.492
일차 변환
σY = |10|·1.492 = 14.92
답
σY = 14.92
평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 10·1.85 + 1 = 19.5.
5.정규분포
답: P = 0.4822
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (246.25 − 250)/5 = −0.75
z₂ = (252.75 − 250)/5 = 0.55
사이의 넓이
P = Φ(0.55) − Φ(−0.75) = 0.7088 − 0.2266 = 0.4822
답
P = 0.4822
6.정규분포
답: x = 87.38 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
다시 x로
x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 점
답
x = 87.38 점
7.신뢰구간
답: E₂ = 1.685
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/200) = 0.8425
새 오차 한계
E₂ = 2·0.8425 = 1.685
답
E₂ = 1.685
8.신뢰구간
답: n = 75
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.96·11/2.5)² = 74.37
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 75
답
n = 75
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 0.7
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
검정통계량
t = (121.2 − 120)/1.714 = 0.7
답
t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: 1 − β = 66.2 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 80 − 1.282·0.5 = 79.36
참 평균에서의 z
z = (79.36 − 79.15)/0.5 = 0.418
전력
검정력 = P(Z < 0.418) = 66.2%
1 − β = 66.2%
답
1 − β = 66.2%
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9824
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 1948 − 30·298/5 = 160
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 18424 − 298²/5 = 663.2
상관계수
r = 160/√(40·663.2) = 0.9824
답
r = 0.9824
12.선형 회귀와 상관
답: e = 4.695
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 152/6 = 25.33
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
회귀직선
b = 246/70 = 3.514
a = 25.33 − 3.514·7 = 0.7333
ŷ = 0.7333 + 3.514·x
예측값
ŷ = 0.7333 + 3.514·5 = 18.3
잔차
e = 23 − 18.3 = 4.695
답
e = 4.695
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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