미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입: 먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한: x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
로피탈 정리: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법: Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통

극한 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^3x을(를) 구하세요. 소수로 답하세요.

f(x) = (1 + 1/x)^3xx → ∞

L =

2.극한어려움

극한 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²)을(를) 구하세요. x의 단위는 라디안입니다.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.도함수보통

f(x) = x³·e^x이라 합시다. f′(1)를 구하세요.

f(x) = x³·e^xx = 1

f′(1) =

4.도함수어려움

f(x) = x³ − 7.5x² + 12x − 4이라 합시다. 극솟점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x³ − 7.5x² + 12x − 4

x =

5.최적화보통

넓이 200 m²인 직사각형 부지의 네 변에 모두 울타리를 칩니다. 도로를 따라가는 길이 x인 변은 미터당 €20, 나머지 세 변은 미터당 €12입니다. 최소 총비용 C을(를) 구하세요.

A = 200 m²€20/m€12/m

C = €

6.최적화어려움

한 극장이 공연마다 표를 775장씩 장당 €25에 판매합니다. 시장 조사에 따르면 표 가격을 €1 올릴 때마다 판매량이 25장 줄고, €1 내릴 때마다 25장 늘어납니다. 수입을 최대로 하는 표 가격 p을(를) 구하세요.

775 × €2525 / €1

p = €

7.적분보통

y = 3x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 4까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.적분어려움

포물선 y = 9 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 9 − x²

A =

3용액

1.극한

답: L = 20.09

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

로그 취하기

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

계산하기

u → 0일 때 ln(1 + u)/u → 1이므로 x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·1 = 3

로그 되돌리기

L = e³ = 20.09

답

L = 20.09

2.극한

답: L = 2.25

첫 번째 적용

3·sin 3x/(4x) → 0/0

두 번째 적용

9·cos 3x/4

x = 0 대입

L = 9/4 = 2.25

답

L = 2.25

3.도함수

답: f′(1) = 10.87

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

대입하기

f′(1) = 2.718·(3 + 1) = 10.87

답

f′(1) = 10.87

4.도함수

답: x = 4

도함수

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

f′(x) = 0 풀기

x = 1 또는 x = 4

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x − 15: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

답

x = 4

5.최적화

답: C = 783.8 €

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

x의 함수로 나타낸 비용

C(x) = 32x + 4800/x

도함수를 0으로 놓기

C″(x) = 9600/x³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

x = √(4800/32) = 12.25 m

y = 200/12.25 = 16.33 m

최소 비용

C = 32·12.25 + 4800/12.25 = €783.8

답

C = €783.8

6.최적화

답: p = 28 €

가격의 함수로서의 매출

n(p) = 1400 − 25p

R(p) = 1400p − 25p²

도함수를 0으로 놓기

R″(p) = −50 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

p = 1400/50 = €28

최대 수입

n = 1400 − 25·28 = 700

R = 28·700 = €19600

답

p = €28

7.적분

답: V = 603.2

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀⁴ 9x² dx

적분하기

V = π·9·4³/3 = 603.2

답

V = 603.2

확인: 반지름 12, 높이 4인 원뿔은 (1/3)πr²h = 603.2입니다.

8.적분

답: A = 36

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

9 − x² = 0 → x = ±3

적분하기

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

답

A = 36

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