공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
I = ∫13 3/x dx를 계산하세요.
직선 y = x와 포물선 y = x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.
합 S = Σk=1∞ 6/(k(k + 2))을(를) 구하시오.
f(x) = e3x의 a = −1 근처 테일러 급수에서 (x + 1)³의 계수 c₃을(를) 구하시오.
f(x, y) = 2x²e−y일 때 (2, −1)에서 v = (−2, −4) 방향으로의 방향 도함수 Duf을(를) 구하시오.
y = 0, x = 1, y = 0.5x으로 둘러싸인 삼각형 T 위에서 I = ∬T (3x) dA를 계산하시오.
84 °C의 커피 한 잔을 22 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.05 min⁻¹일 때 27분 후의 온도 T을(를) 구하세요.
탱크에 소금 10 kg이 녹아 있는 물 500 L가 들어 있습니다. 리터당 소금 0.1 kg이 든 소금물이 10 L/min으로 들어오고, 잘 섞인 용액이 같은 속도로 흘러 나갑니다. 몇 분 t 후에 탱크에 소금이 30 kg 들어 있게 되나요?
답: I = 3.296
정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.
답: V = 0.4189
회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.
답: S = 4.5
수렴: 항이 0으로 가지 않으면 급수는 발산합니다(n번째 항 판정법). Σ1/kᵖ은 p > 1일 때만, Σrᵏ은 |r| < 1일 때만 수렴합니다. k가 클 때 항이 이들과 비슷하게 행동하면 비교하세요. 비율 판정법: L = lim |ak+1/ak|, 근 판정법: L = lim |ak|1/k. L < 1이면 수렴, L > 1이면 발산, L = 1이면 아무것도 결정하지 못합니다. 멱급수 Σck(x − x₀)ᵏ은 R = lim |ck/ck+1|일 때 |x − x₀| < R에서 수렴합니다. 항이 0으로 감소하는 교대급수는 수렴합니다.
답: c₃ = 0.224
테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.
답: Duf = 9.725
그래디언트: ∇f = (fx, fy)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 Duf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
답: I = 0.5
임계점과 이중적분: 임계점에서는 fx = fy = 0입니다. D = fxxfyy − fxy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 fxx > 0이면 극소, D > 0이고 fxx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).
답: T = 38.07 °C
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
답: t = 34.66 min
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
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