미적분학 2: 연습 문제와 시험 문제

두 번째 미적분학 과목: 적분법, 수렴 판정이 있는 수열과 급수, 멱급수와 테일러 다항식, 편도함수, 그래디언트, 임계점, 이중적분이 있는 다변수 미적분을 다룹니다. 교육과정에 따라 이 내용의 일부는 미적분학 3에서 가르치기도 합니다.

이 강의 무료로 연습하기 이 강의 연습하기 모의고사 보기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

벼락치기 팩 (PDF)인쇄하기 좋은 공식 모음, 풀이 단계 요약, 전체 풀이가 있는 연습 문제.

이 강의의 주제

미적분학 2 시험 팁

수렴 판정을 하기 전에 항이 0으로 가는지 확인하세요. 그렇지 않으면 급수는 발산합니다.
수를 대입하기 전에 팩토리얼을 갖춘 테일러 다항식을 먼저 쓰세요.
이중적분은 먼저 영역을 스케치하세요. 스케치가 안쪽 적분의 한계를 줍니다.

예제 풀이

적분쉬움

y = 0.5x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 3까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

구하는 값: V

힌트 보기

x에서의 조각은 반지름 y = 0.5x인 원판입니다.
V = π∫₀³ (0.5x)² dx.
= π·0.25·x³/3.

정답과 단계별 풀이 보기

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀³ 0.25x² dx

적분하기

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

답

V = 7.069

확인: 반지름 1.5, 높이 3인 원뿔은 (1/3)πr²h = 7.069입니다.

수열과 급수보통

합 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3))을(를) 구하시오.

a_k = 12/(k(k + 3))

구하는 값: S

힌트 보기

부분분수: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
처음 몇 개의 항을 써 보세요. 대부분 약분됩니다(망원급수).
남는 것은 (12/3)·(1 + … + 1/3)입니다.

정답과 단계별 풀이 보기

부분분수 전개

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

취소

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

답

S = 7.333

연습 방법

“이 강의 연습하기”는 실제 시험처럼 모든 주제의 문제를 섞어서 냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
모의고사는 제한 시간이 있고 힌트가 없으며, 끝나면 점수와 함께 전체 풀이를 검토할 수 있습니다.

이 강의의 계산기

반감기 및 지수적 감소 계산기 적분 계산기(정적분과 부정적분)