적분 계산기(정적분과 부정적분)
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결과
1/x의 부정적분은 ln|x|입니다. 절댓값 덕분에 음수 x에서도 성립합니다.
부정적분을 구하거나 정적분을 계산합니다. x의 거듭제곱, 1/x, e^(ax + b), ax + b에 대한 sin, cos, sec², (ax + b)ⁿ, ln(ax + b) 같은 표준 항의 합에 대해서는 항별로 적분하고 F(b) − F(a)를 정확히 계산합니다. 그 밖의 연속함수는 적응형 심프슨 공식으로 수치 적분하며, 이상적분에 대해서는 경고합니다.
단계별 풀이
함수와 적분 한계 읽기
항별로 부정적분 구하기
F(b) − F(a) 계산하기
수치 검산
핵심 공식
- 거듭제곱 미분법
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 정적분
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 주요 적분
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 곡선 사이의 넓이
- ∫ab (f − g) dx
정적분을 계산하는 방법
- 피적분함수를 항의 합으로 나누어 각각 따로 적분합니다. 상수 인수는 앞에 그대로 둡니다.
- n ≠ −1일 때 멱 법칙 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)을, 그리고 ∫ 1/x dx = ln|x|를 씁니다.
- ax + b의 함수는 a로 나눕니다: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a, ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- 부정적분을 위끝과 아래끝에서 계산하여 뺍니다: a에서 b까지 ∫ f(x) dx = F(b) − F(a). 상수 C는 상쇄됩니다.
- 피적분함수가 [a, b]에서 연속인지 확인합니다. x = 0에서의 1/x처럼 그 구간에 수직 점근선이 있으면 이상적분이므로 극한이 필요합니다.
질문과 답변
계산기는 어떤 적분을 정확히 풀 수 있나요?
xⁿ(임의의 유리수 n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), ax + b에 대한 sec·tan과 csc·cot, (ax + b)ⁿ, ln(ax + b)의 상수배의 합입니다. x·eˣ 같은 곱은 부분적분이 필요하므로 대신 수치적으로 계산합니다.
수치 적분은 얼마나 정확한가요?
적응형 심프슨 공식은 추정값이 달라지는 구간을 계속 절반으로 나누어, 매끄러운 함수에서는 유효숫자 약 10자리까지 일치할 때까지 진행합니다. 계산기는 함수 계산 횟수와 오차 추정값을 보여 줍니다.
+ C는 무엇인가요?
적분 상수입니다. 상수의 도함수는 0이므로 모든 함수는 상수만큼 차이 나는 무수히 많은 부정적분을 가집니다. 정적분에서는 상쇄됩니다.
이상적분이라는 오류가 왜 나오나요?
피적분함수가 [a, b]의 어딘가에서 정의되지 않거나 무한대이기 때문입니다. 예를 들어 [−1, 1]에서의 1/x나 π/2를 지나는 tan(x)가 있습니다. 이런 적분은 극한이 필요하고 발산할 수도 있으므로 계산기는 값을 제공하지 않습니다.
적분 구간에 π를 쓸 수 있나요?
네. pi, pi/2, 2pi 또는 e를 구간 끝으로 입력하세요. 예를 들어 0에서 pi까지 sin(x)의 적분은 2입니다.
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