이항분포 계산기
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결과
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.02825 | 0.02825 |
| 1 | 0.1211 | 0.1493 |
| 2 | 0.2335 | 0.3828 |
| 3 | 0.2668 | 0.6496 |
| 4 | 0.2001 | 0.8497 |
| 5 | 0.1029 | 0.9527 |
| 6 | 0.03676 | 0.9894 |
| 7 | 0.009002 | 0.9984 |
| 8 | 0.001447 | 0.9999 |
| 9 | 0.0001378 | 1 |
| 10 | 5.905 × 10⁻⁶ | 1 |
각각 확률 p로 성공하는 독립 시행 n번에 대한 이항 확률을 구하세요. 성공이 정확히 x번, x번 이하, x번 이상, x번 미만, x번 초과인 경우를 모두 구할 수 있습니다. 계산기는 이항 공식, 더하는 모든 항(또는 더 짧은 여사건), 평균 np, 표준편차 √(np(1 − p))를 보여 줍니다. n이 30 이하이면 전체 분포도 표로 나열합니다.
단계별 풀이
이항 확률 공식
확률 더하기
평균과 표준편차
핵심 공식
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
이항 확률을 계산하는 방법
- 이항 상황인지 확인하세요: 시행 횟수 n이 정해져 있고, 시행마다 결과가 두 가지이며, 성공 확률 p가 매번 같고, 시행이 서로 독립이어야 합니다.
- 성공이 정확히 x번이면 P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ를 쓰세요. 여기서 C(n, x) = n!/(x!(n − x)!)는 성공이 일어날 수 있는 순서의 수입니다.
- “x번 이하”는 P(X = 0)부터 P(X = x)까지 더하세요. “x번 이상”은 P(X = x)부터 P(X = n)까지 더하세요.
- 합의 항이 많으면 여사건을 쓰세요: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- 표현을 정확히 해석하세요: “4 미만”은 X ≤ 3이고 “4 초과”는 X ≥ 5입니다.
질문과 답변
이항분포의 평균과 표준편차는 얼마인가요?
평균은 μ = np, 분산은 σ² = np(1 − p)이므로 표준편차는 σ = √(np(1 − p))입니다. n = 10, p = 0.3이면 μ = 3, σ = 1.449입니다.
“이상”과 “초과”는 어떻게 다른가요?
“3 이상”은 3을 포함합니다: P(X ≥ 3). “3 초과”는 포함하지 않습니다: P(X > 3) = P(X ≥ 4). 이산분포에서는 서로 다른 수이므로 문제의 표현에 맞는 것을 고르세요.
계산기가 왜 가끔 여사건을 사용하나요?
모든 확률의 합이 1이므로 P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)입니다. 여사건의 항이 더 적으면 손으로 계산하기 더 빠르며, 풀이 단계에 그 방법이 나옵니다. 결과는 같습니다.
n은 얼마까지 가능한가요?
시행 10 000번까지입니다. 항을 로그로 계산하므로 큰 팩토리얼이 넘치지 않고 확률이 정확하게 유지됩니다.
이항분포가 맞지 않는 모형은 언제인가요?
시행이 독립이 아니거나 p가 변할 때입니다. 예를 들어 작은 집단에서 비복원 추출하면 초기하분포를 따릅니다. n이 크고 p가 작으면 λ = np인 푸아송 분포가 좋은 근사입니다.
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