푸아송 분포 계산기
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결과
P(X ≥ 6)0.2149
P(X = 6)0.1042
평균4
분산4
표준편차2
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.01832 | 0.01832 |
| 1 | 0.07326 | 0.09158 |
| 2 | 0.1465 | 0.2381 |
| 3 | 0.1954 | 0.4335 |
| 4 | 0.1954 | 0.6288 |
| 5 | 0.1563 | 0.7851 |
| 6 | 0.1042 | 0.8893 |
| 7 | 0.05954 | 0.9489 |
| 8 | 0.02977 | 0.9786 |
| 9 | 0.01323 | 0.9919 |
| 10 | 0.005292 | 0.9972 |
| 11 | 0.001925 | 0.9991 |
| 12 | 0.0006415 | 0.9997 |
시간당 통화 수, 미터당 결함 수, 분당 도착 수처럼 일정한 구간에서 일어나는 사건 수의 푸아송 확률을 구하세요. 평균 발생률 λ와 횟수 x를 입력하면 사건이 정확히 x번, x번 이하, x번 이상, x번 미만, x번 초과일 확률이 나옵니다. 풀이는 각 항의 공식 e^(−λ)·λˣ/x!를 보여 주고, 더 짧으면 여사건을 사용합니다.
단계별 풀이
푸아송 확률 공식
P(X = k) = e−λ·λk/k!
λ = 4
여사건 사용하기(항이 더 적음)
P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5)
P(X = 0) = e−4·40/0! = 0.01832
P(X = 1) = e−4·41/1! = 0.07326
P(X = 2) = e−4·42/2! = 0.1465
P(X = 3) = e−4·43/3! = 0.1954
P(X = 4) = e−4·44/4! = 0.1954
P(X = 5) = e−4·45/5! = 0.1563
P(X ≤ 5) = 0.01832 + 0.07326 + 0.1465 + 0.1954 + 0.1954 + 0.1563 = 0.7851
P(X ≥ 6) = 1 − 0.7851 = 0.2149
평균과 분산
μ = σ² = λ = 4
σ = √λ = 2
핵심 공식
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
푸아송 확률을 계산하는 방법
- 문제가 다루는 구간에서 평균 사건 수 λ를 구하세요. 발생률이 시간당 3건이고 문제가 2시간에 관한 것이면 λ = 6을 쓰세요.
- 사건이 정확히 x번이면 P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!를 쓰세요.
- “x번 이하”는 0부터 x까지의 확률을 더하세요.
- “x번 이상”은 여사건 P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)을 쓰세요. 무한대까지의 합은 직접 쓸 수 없기 때문입니다.
- 평균과 분산으로 답을 확인하세요. 둘 다 λ와 같습니다.
질문과 답변
푸아송 분포는 언제 적용되나요?
사건이 한 번에 하나씩, 서로 독립적으로, 일정한 평균 발생률로 일어나고, 정해진 시간, 길이, 넓이, 부피 안에 몇 번 일어나는지 셀 때입니다.
푸아송 분포의 평균과 분산은 얼마인가요?
둘 다 λ와 같으므로 표준편차는 √λ입니다. 데이터의 분산이 평균보다 훨씬 크면 사건이 몰려 있을 가능성이 높고 푸아송 모형이 잘 맞지 않습니다.
λ는 소수일 수 있나요?
네. λ는 평균이므로 시간당 2.5건 같은 값도 괜찮습니다. 사건 수 x는 정수여야 합니다.
푸아송 분포와 이항분포는 어떤 관계인가요?
시행이 많고 성공 확률이 작은 이항분포는 λ = np인 푸아송 분포와 거의 같은 확률을 줍니다. 흔히 n ≥ 20, p ≤ 0.05를 경험 법칙으로 씁니다.
P(X ≥ 1)이 왜 1 − e^(−λ)인가요?
사건이 1번 미만이려면 없어야 하고 P(X = 0) = e^(−λ)입니다. 따라서 P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ)이며, λ = 2이면 0.8647입니다.
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