순열과 조합 계산기(nPr, nCr)
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결과
n개 중에서 r개를 고르는 방법의 수를 세어 보세요. 순열 nPr은 순서 있는 배열의 수를, 조합 nCr은 순서가 중요하지 않은 선택의 수를 셉니다. 계산기는 항목을 중복해서 고를 수 있을 때의 경우의 수도 구하며, n과 r이 1000까지인 정확한 정수로 계산합니다. 매우 큰 결과도 풀이 단계에 모든 자릿수가 나옵니다.
단계별 풀이
순열: 순서가 중요합니다
조합: 순서가 중요하지 않습니다
중복을 허용할 때
핵심 공식
- 순열
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- 조합
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- 중복 허용
- 순서가 중요하면 nr, 아니면 C(n + r − 1, r)
순열과 조합을 계산하는 방법
- 순서가 중요한지 먼저 정하세요. 사람을 한 줄로 세우기, 1등과 2등 상 주기, 비밀번호 만들기는 순서가 중요하므로 순열을 씁니다. 팀 뽑기나 카드 패 고르기는 순서가 중요하지 않으므로 조합을 씁니다.
- 순열: nPr = n!/(n − r)!, 곧 r개의 인수 n·(n − 1)···(n − r + 1)의 곱입니다.
- 조합: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. r!로 나누면 각 선택의 r!가지 순서가 제거됩니다.
- 중복을 허용하면 순서 있는 선택은 nʳ, 순서 없는 선택은 C(n + r − 1, r)입니다.
- 작은 경우로 확인하세요: 각 쌍을 2가지 순서로 쓸 수 있으므로 C(4, 2) = 6이고 P(4, 2) = 12입니다.
질문과 답변
순열과 조합은 어떻게 다른가요?
순열은 순서가 있는 배열이고 조합은 순서가 없는 선택입니다. 문자 A, B, C로 순서 있는 쌍은 6개(AB, BA, AC, CA, BC, CB)지만 순서 없는 쌍은 3개({A, B}, {A, C}, {B, C})뿐입니다.
C(n, r)이 왜 C(n, n − r)과 같은가요?
가져갈 r개를 고르는 것은 남겨 둘 n − r개를 고르는 것과 같습니다. 예를 들어 C(10, 3) = C(10, 7) = 120입니다.
0!은 무엇인가요?
0! = 1입니다. 그래야 양 끝에서도 공식이 성립합니다. 아무것도 고르지 않거나 모두 고르는 방법은 정확히 하나이므로 C(n, 0) = C(n, n) = 1입니다.
중복조합이란 무엇인가요?
같은 항목을 여러 번 고를 수 있는 순서 없는 선택으로, 아이스크림 10가지 맛에서 3스쿱을 고르는 경우가 그 예입니다. 경우의 수는 C(n + r − 1, r)이며, 이 예에서는 C(12, 3) = 220입니다.
확률에서 조합은 어디에 쓰이나요?
이항 공식에서 C(n, x)는 n번의 시행에서 성공 x번이 일어날 수 있는 순서의 수를 셉니다. 복권과 카드 게임에서 어떤 패의 확률은 유리한 조합의 수를 전체 조합의 수로 나눈 값입니다.
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