확률: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 확률 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 같은 정도로 일어나는 결과, 경우의 수와 여사건, 이항분포.

무료 연습 문제쉬움
합 ≥ 4주사위 1주사위 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

공정한 주사위 두 개를 던집니다. 눈의 합이 4 이상일 확률 P는 얼마일까요?

주사위 2개≥ 4

확률을 0과 1 사이의 소수로 쓰세요.

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연습 내용

  1. 쉬움같은 정도로 일어나는 결과
  2. 보통경우의 수와 여사건
  3. 어려움이항분포

핵심 공식

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

확률 처음부터 배우기

1확률이란

확률은 어떤 일이 얼마나 일어날 법한지를 나타내는 0과 1 사이의 수입니다. 0은 결코 일어나지 않는다는 뜻이고 1은 항상 일어난다는 뜻입니다.

모든 결과가 같은 확률일 때는 개수를 세세요:

P(A) = 유리한 결과의 수 / 전체 결과의 수

가방에 빨간 공 3개, 파란 공 5개, 초록 공 2개가 모두 10개 들어 있습니다. 무작위로 하나를 뽑으면 P(파랑) = 5/10 = 0.5입니다.

공정한 주사위는 6개의 면이 있으므로 P(6) = 1/6 ≈ 0.167이고 P(짝수) = 3/6 = 0.5입니다.

확률은 백분율로도 쓸 수 있습니다: 0.5는 50%입니다. 시험 답은 보통 0과 1 사이의 소수입니다.

자가 점검 가방에 빨간 공 2개, 파란 공 8개, 초록 공 4개가 들어 있습니다. 무작위로 하나를 뽑습니다. P(빨강)은 얼마입니까?
  1. 2/12 ≈ 0.167
  2. 2/14 ≈ 0.143
  3. 2/8 = 0.25
  4. 2

답: 2/14 ≈ 0.143. 공은 2 + 8 + 4 = 14개이고 그중 2개가 빨강입니다: 2/14 ≈ 0.143. 12로 나누면 다른 공만 센 것이지만, 전체에는 빨간 공도 포함되어야 합니다.

2사건을 결합하는 규칙

  • 여사건: P(A가 아님) = 1 − P(A). “적어도 하나” 문제에 쓰세요: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음).
  • 그리고, 독립 사건: 곱합니다. 공정한 동전 두 개에서 P(앞면 둘) = 0.5 · 0.5 = 0.25.
  • 또는: P(A 또는 B) = P(A) + P(B) − P(A 그리고 B). 겹치는 부분을 빼서 두 번 세지 않게 합니다.

비복원 추출은 가방을 바꿉니다. 빨간 공 하나를 꺼내면 빨간 공이 하나 줄고 전체도 하나 줄어듭니다.

빨강 5개와 파랑 4개일 때 P(빨강 둘) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278.

순서가 중요하지 않은 묶음을 세려면 조합을 쓰세요. n개에서 k개를 고르는 방법의 수는:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

여기서 n! = n · (n − 1) · … · 1입니다. 따라서 C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15이며, 6명 중 4명으로 이루어진 위원회가 15개입니다.

자가 점검 가방에 빨간 공 5개와 파란 공 4개가 있습니다. 첫 번째 공을 돌려놓지 않고 두 개를 뽑습니다. P(둘 다 빨강)은 얼마입니까?
  1. 0.139
  2. 0.278
  3. 0.309
  4. 0.556

답: 0.278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278입니다. 5/9 · 5/9 ≈ 0.309를 쓰면 첫 번째 빨간 공이 더 이상 가방에 없다는 것을 잊은 것입니다.

3이항분포

어떤 문제는 같은 시행을 n번 반복합니다: 부품 5개 검사하기, 답 8개 찍기, 동전 3번 던지기. 각 시행은 서로 독립적으로 확률 p로 성공합니다.

성공 횟수 X는 이항분포를 따릅니다:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k번의 성공.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k번의 실패.
  • C(n, k): 성공이 놓일 수 있는 서로 다른 순서의 수.

“많아야 하나”는 P(X = 0)과 P(X = 1)을 더하세요. “적어도 하나”는 1 − P(X = 0)을 쓰세요.

자가 점검 공정한 동전을 3번 던집니다. 앞면이 정확히 2번 나올 확률은 얼마입니까?
  1. 0.125
  2. 0.25
  3. 0.375
  4. 0.667

답: 0.375. C(3, 2) · 0.5² · 0.5 = 3 · 0.125 = 0.375입니다. C(3, 2)를 잊으면 0.125가 되는데, 이는 HHT 같은 한 가지 순서일 뿐이며 THH와 HTH도 세어야 합니다.

4단계별 방법

  1. 하나의 결과가 무엇인지, 전체 결과가 몇 개인지 적으세요.
  2. 말을 번역하세요: “그리고”는 곱하기, “또는”은 더하기(겹침을 뺌), “아님”은 1 − P입니다.
  3. “적어도 하나”는 여사건 “하나도 없음”을 먼저 계산하세요.
  4. 비복원: 매번 뽑은 뒤 개수를 줄이세요. 또는 조합으로 세세요.
  5. p가 고정된 반복 독립 시행: 이항 공식을 쓰세요.
  6. 답이 0과 1 사이에 있는지 확인하세요.

여러 단계가 있을 때는 나무 그림이 도움이 됩니다: 가지를 따라 곱하고, 필요한 가지들을 더하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

가방에 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 들어 있습니다. 첫 번째 공을 돌려놓지 않고 두 공을 뽑습니다. 그중 적어도 하나가 빨강일 확률 P는 얼마입니까?

1

여사건을 씁니다

“적어도 빨강 하나”에는 세 가지 경우가 있습니다: 빨강–빨강, 빨강–파랑, 파랑–빨강. 반대인 “빨강 없음”에는 한 가지 경우, 파랑–파랑뿐입니다.

P(적어도 하나가 빨강) = 1 − P(둘 다 파랑)
2

첫 번째 뽑기

10개 중 파란 공이 6개입니다.

P(첫 번째가 파랑) = 6/10
3

두 번째 뽑기

파란 공 하나가 없어졌으므로 9개 중 파란 공이 5개 남았습니다.

P(둘 다 파랑) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

나무 그림에서 R은 빨간 공, B는 파란 공입니다. 굵은 가지가 파랑–파랑입니다.

4

여사건을 취합니다

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0.667
5

답 검산

조합으로 세세요: 쌍은 C(10, 2) = 45개이고 그중 C(6, 2) = 15개가 파랑–파랑입니다. 15/45 = 1/3으로 앞과 같습니다.

나무의 나머지 세 가지의 합도 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3입니다.

답

P = 2/3 ≈ 0.667

6흔한 실수

  • “적어도 하나”에서 1 − P(없음)를 쓰지 않고 확률을 더하기.
  • 비복원 추출에서 개수를 줄이는 것을 잊기.
  • 이항 공식에서 계수 C(n, k)를 잊기.
  • 잘못된 전체로 나누기. 예를 들어 다른 색깔만으로.
  • 1보다 크거나 0보다 작은 확률을 답하기. 항상 오류의 신호입니다.
자가 점검 공정한 주사위를 두 번 굴립니다. 적어도 한 번 6이 나올 확률은 얼마입니까?
  1. 1/3 ≈ 0.333
  2. 1/36 ≈ 0.028
  3. 11/36 ≈ 0.306
  4. 25/36 ≈ 0.694

답: 11/36 ≈ 0.306. 1 − P(6 없음) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36입니다. 1/6 + 1/6을 더하면 1/3이 되는데, 6이 두 번 나오는 경우를 두 번 센 것입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 같은 확률의 결과. 색깔 공 가방에서 한 번 뽑기, 또는 주사위 한 번 굴리기.
  • 보통: 세기와 여사건. C(n, k)를 쓰는 위원회, 또는 비복원 두 번 뽑기.
  • 어려움: 이항분포. 정확히 k번 성공, 또는 P(X = 0) + P(X = 1)로 “많아야 하나”.

답은 0과 1 사이의 소수로, 소수점 셋째 또는 넷째 자리까지 반올림하여 쓰세요.

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예제 풀이

예제 1쉬움
xp(x)1?20.2530.1540.250.15

표는 X의 확률분포를 주지만 확률 하나가 빠져 있습니다. P(X = 1)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0.25, 0.15, 0.2, 0.15

구하는 값: P(X = 1)

힌트 보기
  1. 분포의 모든 확률의 합은 1입니다.
  2. 알려진 확률들을 더하세요.
  3. P = 1 − 0.75.
정답과 단계별 풀이 보기

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

알려진 확률들의 합

0.25 + 0.15 + 0.2 + 0.15 = 0.75

빠진 확률

P(X = 1) = 1 − 0.75 = 0.25

답

P(X = 1) = 0.25
예제 2보통
xp(x)10.1520.3530.0540.350.15μ = 2.95

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.3, 0.15

구하는 값: Var(X)

힌트 보기
  1. μ = Σx·p(x) = 2.95.
  2. 그러면 E(X²) = Σx²·p(x)입니다.
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
정답과 단계별 풀이 보기

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.15 = 2.95

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.15 = 10.55

분산

Var(X) = 10.55 − 2.95² = 1.848

답

Var(X) = 1.848
예제 3어려움
n = 12, p = 0.3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

어떤 시험에 객관식 문제가 12개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 12p = 0.3k = 5

구하는 값: P

힌트 보기
  1. 이것은 이항분포입니다: 독립 시행 횟수가 정해져 있고 성공 확률이 같습니다.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
정답과 단계별 풀이 보기

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 5) = 792·0.35·0.77 = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585

답

P = 0.1585

질문과 답변

확률: 무엇인가요?

확률은 어떤 일이 얼마나 일어날 법한지를 나타내는 0과 1 사이의 수입니다. 0은 결코 일어나지 않는다는 뜻이고 1은 항상 일어난다는 뜻입니다.

모든 결과가 같은 확률일 때는 개수를 세세요:

확률 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

확률에서 자주 하는 실수는?
  • 그것은 알려진 확률들의 합입니다. 빠진 확률은 1에서 그 합을 뺀 값입니다.
  • 값들이 같은 확률로 나오는 것은 아닙니다: 모든 확률의 합이 1이라는 사실을 이용하세요.
  • E(X²)은 분산이 아닙니다: μ²을 빼세요.
확률 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 같은 정도로 일어나는 결과
  • 보통: 경우의 수와 여사건
  • 어려움: 이항분포

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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근거기반 실무 통계

계산기

이항분포 계산기푸아송 분포 계산기순열과 조합 계산기(nPr, nCr)기댓값과 분산 계산기

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