수열과 급수 처음부터 배우기
먼저 알아 둘 것: 극한, 도함수
1등차수열과 등비수열
수열은 수의 나열 a₁, a₂, a₃, …이고 급수는 그 합입니다. 두 종류가 모든 시험에 나옵니다.
등차수열은 단계마다 같은 차 d를 더합니다: 3, 7, 11, 15, …는 d = 4입니다.
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
3, 7, 11, …에서 a₂₀ = 3 + 19·4 = 79이고 S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820입니다. n − 1에 주의하세요. 첫째 항에서 스무째 항까지는 19단계뿐입니다.
등비수열은 단계마다 같은 비 r을 곱합니다: 2, 6, 18, …는 r = 3입니다.
aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
자가 점검 5, 8, 11, 14, …의 10번째 항은 얼마인가?
- 29
- 30
- 32
- 35
답: 32. d = 3이므로 a₁₀ = 5 + 9·3 = 32입니다. 9·3 대신 10·3을 쓰면 35가 됩니다.
2무한 등비급수
2 + 1 + 0.5 + 0.25 + …의 항을 계속 더하면 합은 4를 결코 넘지 않고 4에 가까워집니다.
|r| < 1이면 Sₙ의 rⁿ이 0으로 줄어들어 무한합이 존재합니다.
S = a₁/(1 − r), |r| < 1일 때만
여기서 a₁은 합의 첫째 항입니다. Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ에서 첫째 항은 8·(1/2)² = 2이므로 S = 2/(1 − 1/2) = 4입니다.
|r| ≥ 1이면 항이 줄어들지 않아 급수에 합이 없습니다. 급수는 발산합니다.
자가 점검 Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ은 얼마인가?
- 12
- 2.4
- 3
- 4
답: 4. 첫째 항(k = 0)은 3이고 r = 1/4이므로 S = 3/(1 − 1/4) = 4입니다. 분모에 1 + r을 쓰면 2.4가 됩니다.
3급수는 수렴하는가?
대부분의 급수에는 간단한 합의 공식이 없지만, 합이 유한한지는 판정할 수 있습니다. 판정법을 이 순서로 쓰세요.
- n번째 항 판정법: 항이 0으로 가지 않으면 급수는 발산합니다. Σ k/(k + 1)은 항이 1로 가므로 발산합니다.
- 표준 급수: Σ1/kᵖ은 p > 1일 때만 수렴합니다(따라서 조화급수 Σ1/k은 발산합니다). Σrᵏ은 |r| < 1일 때만 수렴합니다.
- 비교: 1/(k² + 3)은 1/k²보다 작으므로 Σ1/(k² + 3)도 수렴합니다.
- 비율 판정법: L = lim |ak+1/ak|. L < 1이면 수렴, L > 1이면 발산, L = 1이면 답이 없습니다. 팩토리얼과 k제곱에 쓰세요.
- 교대급수: Σ(−1)ᵏ/k은 항의 부호가 번갈아 바뀌고 0으로 감소하므로 수렴합니다.
예: Σ k/2ᵏ에서 비율은 ((k + 1)/k)·(1/2)이고 L = 1/2 < 1로 가므로 수렴합니다.
자가 점검 다음 급수 중 발산하는 것은 무엇인가?
- Σ (2/3)ᵏ
- Σ 1/k²
- Σ 1/√k
- Σ 3ᵏ/k!
답: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2은 p = 1/2 ≤ 1인 p-급수이므로 발산합니다. 1/k²은 p = 2이고, (2/3)ᵏ은 r < 1인 등비급수이며, 3ᵏ/k!에는 비율 판정법이 L = 0을 줍니다.
4멱급수와 수렴 반지름
멱급수 Σ ck(x − x₀)ᵏ은 끝이 없는 다항식입니다. 중심 x₀에 충분히 가까운 x에서 수렴합니다.
항 전체에 비율 판정법을 쓰면 수렴 반지름 R이 나옵니다. 급수는 |x − x₀| < R에서 수렴하고 |x − x₀| > R에서 발산합니다.
R = lim |ck/ck+1|
예: Σ xᵏ/(k·3ᵏ)은 ck/ck+1 = 3(k + 1)/k이고 3으로 갑니다. 따라서 R = 3이고 급수는 −3 < x < 3에서 수렴합니다.
두 끝점에서는 판정법이 답을 주지 않습니다. 문제가 전체 구간을 물으면 따로 확인하세요.
5테일러 다항식과 매클로린 다항식
점 a 근처에서 매끄러운 함수는 다항식처럼 보입니다. n차 테일러 다항식은 a에서의 값과 처음 n개의 도함수를 맞춥니다.
Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!
a = 0이면 매클로린 다항식이라고 합니다. 다음 급수들을 외우세요.
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
항을 많이 잡을수록 다항식이 함수에 더 오래 가깝게 머뭅니다.
풀이 예제3차 매클로린 다항식으로 e0.5을 근사하고 오차의 한계를 구하시오.
1P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2P₃(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 = 1.645833
3오차는 최대 M·|x|⁴/4!이며, M은 0과 0.5 사이에서 4계 도함수 eᵗ의 최댓값 M = e0.5 ≈ 1.6487입니다.
|R₃| ≤ 1.6487·0.5⁴/24 = 0.0043
4계산기는 e0.5 = 1.648721을 주므로 실제 오차는 0.0029이며 한계 안에 있습니다.
답 e0.5 ≈ 1.6458, 오차는 최대 0.0043.
6자주 하는 실수와 시험 문제
- n번째 항에 n − 1단계가 아니라 n단계를 쓰는 것.
- 합이 k = 0에서 시작하지 않을 때 첫째 항을 잘못 잡고 a/(1 − r)을 쓰는 것.
- 항이 0으로 간다는 이유만으로 급수가 수렴한다고 결론짓는 것. Σ1/k이 반례입니다.
- 테일러 다항식에서 팩토리얼이나 sin, cos의 마이너스 부호를 잊는 것.
- 오차 한계에 |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 대신 |x|ⁿ/n!을 쓰는 것.
쉬움: 등차수열과 등비수열의 합. 보통: 수렴 판정, 비율 판정법, 수렴 반지름. 어려움: 테일러 다항식, 그 계수와 오차 한계.
자가 점검 sin x의 매클로린 급수에서 x³의 계수는 얼마인가?
- 1/3
- 1/6
- −1/3
- −1/6
답: −1/6. sin x = x − x³/3! + …이고 3! = 6이므로 계수는 −1/6입니다. 마이너스 부호를 잊으면 1/6이 됩니다.
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