벡터: 내적과 외적 처음부터 배우기
1벡터란 무엇인가
어떤 양은 수 하나만 있으면 됩니다. 5 kg의 질량이나 20 °C의 온도입니다. 이것이 스칼라입니다.
다른 양은 방향도 필요합니다. 위로 미는 40 N의 힘은 옆으로 미는 40 N과 매우 다릅니다. 이것이 벡터입니다.
벡터는 성분으로 나타냅니다. x 방향, y 방향, z 방향으로 얼마나 뻗는지입니다. 벡터 a = (4, 3, 0)은 x로 4, y로 3, z로 0만큼 뻗습니다.
힘, 변위, 속도는 모두 벡터입니다. 공학자는 벡터 수학으로 힘을 더하고, 각도를 구하고, 3차원에서 모멘트를 계산합니다.
벡터는 성분별로 더합니다: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). 이렇게 여러 힘의 합력을 구합니다.
자가 점검 벡터 a = (3, 4, 0)의 길이는 얼마인가?
- 1
- 25
- 5
- 7
답: 5. 길이는 √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5입니다. 성분을 더하는 것(7)은 성분이 서로 수직이므로 틀렸고, 25는 제곱근을 잊은 값입니다.
2길이, 방향, 성분
크기 |a|는 벡터의 길이입니다. 3차원에서의 피타고라스입니다.
|a| = √(ax² + ay² + az²)
단위 벡터는 길이가 1이고 같은 방향을 가리킵니다. 모든 성분을 크기로 나누면 얻습니다.
û = a / |a|
a = (0, 3, 4)의 크기는 5이므로 û = (0, 0.6, 0.8)입니다. 확인: 0.6² + 0.8² = 1.
xy 평면의 힘은 흔히 크기 F와 양의 x축에서 반시계 방향으로 잰 각도 θ로 주어집니다. 성분은 다음과 같습니다.
Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ
코사인과 사인이 부호를 자동으로 줍니다. 120°의 힘은 cos 120° = −0.5이므로 x 성분이 음수입니다.
성분에서 각도로 되돌아갈 때 arctan(Ry/Rx)은 −90°와 90° 사이의 답만 줍니다. Rx가 음수이면 180°를 더하세요. Ry만 음수이면 360°를 더하세요.
자가 점검 a = (0, 3, 4) 방향의 단위 벡터의 y 성분은 얼마인가?
- 0.12
- 0.43
- 0.6
- 3
답: 0.6. 크기 5로 나눕니다: 3/5 = 0.6. 3은 나누는 것을 잊은 값이고, 0.12는 |a|² = 25로 나눈 값이며, 0.43은 성분의 합(7)으로 나눈 값입니다.
3내적과 외적
두 벡터를 곱하는 방법은 둘입니다. 내적은 수를 줍니다. 외적은 새로운 벡터를 줍니다.
a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ
여기서 θ는 두 벡터 사이의 각입니다. 내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 가리키는지 나타냅니다. 서로 수직이면 0입니다.
- 각도: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
- a를 b에 사영한 스칼라 사영(a 중 b를 따르는 부분): a·b / |b|.
- 변위에 걸쳐 일정한 힘이 한 일: W = F·d.
- a·b = 0이면 두 벡터는 수직입니다.
외적 a × b는 a와 b 모두에 수직인 벡터입니다. 그 길이는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다.
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
a = (1, 2, 0), b = (3, 1, 0)이면 a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)입니다. 평행사변형의 넓이는 5이고 삼각형은 그 절반인 2.5입니다.
순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 M = r × F이며 r = A − O입니다.
자가 점검 a = (2, 1, 0), b = (1, 4, 0)일 때 a × b의 z 성분은 얼마인가?
- 6
- 7
- 9
- −7
답: 7. z 성분 = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7입니다. −7은 b × a(순서를 바꾼 것)이고, 6은 내적이며, 9는 두 곱을 빼는 대신 더한 값입니다.
4단계별 방법
- 모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘에는 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
- 문제가 점을 주면 그 점들로 벡터를 만드세요: A에서 B로 가는 벡터는 B − A입니다.
- 어떤 도구가 필요한지 정하세요. 길이와 방향: 크기와 단위 벡터. 각도, 사영, 일: 내적. 넓이, 수직 벡터, 모멘트: 외적.
- 먼저 공식을 쓰고, 성분 하나씩 수를 넣으세요. 부호는 괄호 안에 두세요.
- 결과를 확인하세요: 단위 벡터의 길이는 1이고, a × b는 a에 수직(따라서 a·(a × b) = 0)이며, 두 벡터 사이의 각은 0°에서 180° 사이입니다.
두 벡터에 수직인 단위 벡터를 구하려면 n = a × b를 취해 그 길이로 나누세요. 문제가 z 성분이 양수이기를 원하는데 구한 값이 음수이면 모든 부호를 바꾸세요.
모서리가 a, b, c인 상자(평행육면체)의 부피는 |a·(b × c)|입니다: 먼저 외적, 그다음 내적입니다.
5풀이 예제
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
풀이 예제일정한 힘 F = (6, 2, −3) N이 물체를 점 A(1, 0, 2)에서 점 B(3, 4, 2)까지 직선으로 민다. 좌표의 단위는 미터이다. 힘이 한 일 W와 힘과 변위 사이의 각 θ를 구하시오.
1변위는 A에서 B로 가는 벡터입니다: 끝에서 시작을 빼세요.
d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2일은 힘과 변위의 내적입니다. 대응하는 성분끼리 곱해서 더하세요.
W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m
4내적의 다른 형태 F·d = |F|·|d|·cos θ를 쓰고 cos θ에 대해 푸세요.
cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389
θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°
5일이 양수이므로 각은 90°보다 작아야 합니다. 그렇습니다.
운동 방향의 힘 성분은 |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N입니다. 여기에 거리 4.472 m를 곱하면 다시 20 J이 됩니다.
답 W = 20 J이고 θ ≈ 50.3°입니다.
6흔한 실수
- 성분 대신 크기를 더하는 것. 직각을 이루는 3 N과 4 N의 두 힘은 7 N이 아니라 5 N이 됩니다.
- 모멘트에서 r = A − O 대신 점의 좌표를 쓰는 것.
- 외적의 가운데(y) 성분의 부호를 틀리는 것. azbx − axbz이며 그 반대가 아닙니다.
- 외적에서 순서를 바꾸는 것. b × a는 a × b와 반대 방향을 가리킵니다.
- 벡터가 어느 사분면에 있는지 확인하지 않고 방향에 arctan을 취하는 것.
- 삼각형 넓이의 ½를 잊는 것: |AB × AC|의 절반입니다.
자가 점검 힘 F = (0, 10, 0) N이 점 A(3, 0, 0) m에 작용한다. 점 O(1, 0, 0) m에 대한 모멘트의 크기는 얼마인가?
- 10 N·m
- 20 N·m
- 30 N·m
- 40 N·m
답: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m이므로 M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m입니다. 점 A 자체를 r로 쓰면 30 N·m, A + O를 쓰면 40 N·m, O만 쓰면 10 N·m이 됩니다.
7시험 문제의 유형
- 쉬움: 크기와 성분. 벡터의 길이, 단위 벡터의 한 성분, 크기와 각도로 주어진 힘의 한 성분, 또는 두 힘의 합력의 크기나 방향.
- 보통: 내적. 내적, 두 벡터 사이의 각, 스칼라 사영, 두 점 사이에서 힘이 한 일, 또는 두 벡터를 수직으로 만드는 k의 값.
- 어려움: 외적과 모멘트. a × b의 한 성분, 평행사변형이나 삼각형의 넓이, 한 점에 대한 힘의 모멘트, 단위 법선 벡터, 또는 삼중곱으로 구하는 상자의 부피.
수직 문제에서는 a·b = 0으로 놓으세요. k에 대한 일차 방정식 하나가 나옵니다.
꼭짓점이 A, B, C인 삼각형에는 변 벡터 AB = B − A와 AC = C − A를 쓰세요. 넓이는 ½·|AB × AC|입니다.
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