집합, 관계, 함수: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 집합, 관계, 함수 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 벤 다이어그램과 부분집합 보통: 포함·배제와 관계 어려움: 함수와 세기 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 집합, 관계, 함수 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 벤 다이어그램과 부분집합, 포함·배제와 관계, 함수와 세기.

무료 연습 문제쉬움

A = {b, e}, B = {1, 2}이라 하자. |A × B|을(를) 구하시오.

A = {b, e}B = {1, 2}

정확한 답: 정수, 반올림하지 않음.

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집합, 관계, 함수 무료로 연습하기 지금 집합, 관계, 함수 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움벤 다이어그램과 부분집합
보통포함·배제와 관계
어려움함수와 세기

집합, 관계, 함수 문제 푸는 방법

벤 다이어그램을 그리고, 집합식에 속하는 영역을 영역별로 판단하세요.
개수를 세는 문제에서는 가운데에서 바깥쪽으로 영역을 채우세요. 모든 집합, 그다음 두 집합씩, 그다음 한 집합, 마지막으로 바깥쪽 순서입니다.
포함·배제 원리로 확인하세요: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
관계는 모든 쌍에서 각 성질을 검사하고, 성립하지 않으면 반례를 하나 드세요.
함수는 B의 각 원소로 들어오는 화살표를 세세요. 많아야 하나이면 단사이고, 적어도 하나이면 전사입니다.

흔한 실수

겹치는 부분을 빼지 않고 |A|와 |B|를 더하는 것.
집합이 세 개일 때 가운데 부분을 다시 더하는 것을 잊는 것.
함수의 개수에서 지수를 바꿔 쓰는 것: m개 원소를 n개로 보내는 함수는 nᵐ개입니다.
g ∘ f를 잘못된 순서로 적용하는 것: 먼저 작용하는 것은 f입니다.
동치 관계의 순서쌍을 셀 때 (x, x) 쌍을 빠뜨리는 것.

핵심 공식

집합 두 개: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
집합 세 개: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
차집합과 여집합: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
멱집합과 곱집합: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
크기 k인 부분집합: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
함수 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n개 원소 위의 관계: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
합성: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

집합, 관계, 함수 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 명제논리와 증명

1집합과 집합 연산

집합은 서로 다른 원소의 모임입니다: A = {1, 2, 3}. 순서와 중복은 중요하지 않습니다. |A|는 원소의 개수이고, U는 논의하는 모든 것을 포함하는 전체집합입니다.

A ∪ B(합집합): A 또는 B 또는 둘 다에 속하는 원소.
A ∩ B(교집합): 둘 다에 속하는 원소.
A − B(차집합): A의 원소 중 B에 속하지 않는 원소.
A′(여집합): U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소.

벤 다이어그램에서는 원 두 개가 U를 네 영역으로 나눕니다. A만, 둘 다, B만, 그리고 어디에도 속하지 않는 영역입니다. 모든 집합식은 이 영역들 중 일부의 합집합이므로 언제나 영역별로 셀 수 있습니다.

여기서 |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25, |(A ∪ B)′| = 15입니다.

자가 점검 위의 다이어그램에서 A − B의 원소는 몇 개인가?

답: 12. A − B는 A에서 B 밖에 있는 부분, 곧 12가 있는 영역만 남깁니다. 겹치는 부분의 5는 B에도 속하고, 17은 A 전체입니다.

2포함·배제로 세기

|A|와 |B|를 더하면 겹치는 부분이 두 번 세어지므로 한 번 뺍니다.

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

집합이 세 개이면 쌍마다 겹치는 부분을 빼지만, 그러면 가운데 부분이 세 번 빠졌으므로 다시 더합니다.

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

문장제에서는 가운데에서 바깥쪽으로 벤 다이어그램을 채우는 편이 대개 더 안전합니다. 먼저 세 집합에 모두 속하는 원소, 그다음 가운데를 뺀 각 쌍, 그다음 이미 놓은 것을 뺀 각 한 집합 순서입니다.

자주 나오는 다른 개수 두 가지: 원소가 n개인 집합은 부분집합이 2ⁿ개(멱집합 𝒫(A))이고, 순서쌍은 |A × B| = |A|·|B|개입니다.

자가 점검 학생 40명 중 25명이 프랑스어를, 18명이 독일어를 배우고 9명이 둘 다 배운다. 둘 다 배우지 않는 학생은 몇 명인가?

답: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34이므로 40 − 34 = 6명이 둘 다 배우지 않습니다. 9를 빼는 것을 잊으면 43이 나오는데, 전체 인원보다 많습니다.

3풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

학생 60명 중 30명이 수학(M), 25명이 물리(P), 20명이 화학(C)에 합격했다. M과 P에 10명, M과 C에 8명, P와 C에 6명이 합격했고, 세 과목 모두에 3명이 합격했다. 아무것도 합격하지 못한 학생은 몇 명인가?

중심

세 과목 모두 합격한 학생은 3명입니다.

두 과목만

M과 P만: 10 − 3 = 7. M과 C만: 8 − 3 = 5. P와 C만: 6 − 3 = 3.

한 과목만

M만: 30 − 7 − 5 − 3 = 15. P만: 25 − 7 − 3 − 3 = 12. C만: 20 − 5 − 3 − 3 = 9.

합집합과 여집합

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

공식도 같은 값을 줍니다: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54.

답

60 − 54 = 6명이 세 과목 중 어느 것에도 합격하지 못했습니다.

4관계

집합 X 위의 관계 R은 x와 y가 X에 속하는 순서쌍 (x, y)의 집합입니다. 방향 그래프로 그리면 각 쌍은 화살표이고 (x, x)는 루프입니다.

반사적: 모든 x에 대해 (x, x) ∈ R입니다: 모든 정점에 루프가 있습니다.
대칭적: (x, y) ∈ R이면 항상 (y, x) ∈ R도 성립합니다.
반대칭적: (x, y)와 (y, x)가 모두 R에 있는 경우는 x = y일 때뿐입니다.
추이적: R에 (x, y)와 (y, z)가 있으면 (x, z) ∈ R이어야 합니다.

반사적, 대칭적, 추이적인 관계는 동치 관계입니다. 동치 관계는 X를 서로소인 류로 나눕니다. 예를 들어 “x ≡ y (mod 3)”에서는 나머지 0, 1, 2의 류가 생깁니다. 원소가 s개인 류는 순서쌍 s²개를 기여합니다.

성질을 반박하려면 반례 하나로 충분하고, 증명하려면 모든 쌍을 확인해야 합니다.

자가 점검 {1, 2, 3} 위의 R = {(1, 2), (2, 3)}이다. R을 추이적으로 만들려면 어떤 쌍을 추가해야 하는가?

(1, 1)
(1, 3)
(2, 1)
(3, 1)

답: (1, 3). (1, 2)와 (2, 3)이 R에 있으므로 추이성은 (1, 3)을 요구합니다. (2, 1)은 대칭성을, (1, 1)은 반사성을 위해 필요합니다.

5함수

함수 f: A → B는 A의 모든 원소에 B의 상을 정확히 하나씩 대응시킵니다.

단사(일대일): 서로 다른 원소는 서로 다른 상을 가집니다. B의 어떤 원소도 화살표를 두 개 받지 않습니다.
전사(위로의 함수): B의 모든 원소가 화살표를 적어도 하나 받습니다.
전단사: 둘 다입니다. 그때에만 f는 역함수 f⁻¹를 가집니다.

그림의 함수는 단사이지만 전사는 아닙니다: d는 화살표를 받지 않습니다. 단사에는 |A| ≤ |B|가, 전사에는 |A| ≥ |B|가 필요합니다.

|A| = m, |B| = n이면 함수는 nᵐ개이고 단사 함수는 n!/(n − m)!개입니다. 합성 (g ∘ f)(x) = g(f(x))는 f를 먼저 적용합니다.

자가 점검 원소가 3개인 집합에서 원소가 4개인 집합으로 가는 함수는 몇 개인가?

답: 64. 3개의 원소가 각각 4개의 상 중 하나를 고르므로 4³ = 64입니다. 3⁴ = 81은 역할을 바꾼 것이고, 24 = 4·3·2는 단사 함수만 센 것이며, 12 = 3·4는 A × B의 크기입니다.

6흔한 실수

겹치는 부분을 빼지 않고 |A| + |B|를 더하는 것.
집합 세 개의 포함·배제에서 가운데 부분을 다시 더하는 것을 잊는 것.
m개 원소에서 n개 원소로 가는 함수의 개수를 nᵐ이 아니라 mⁿ으로 쓰는 것.
관계가 대칭적이면서 반대칭적일 수 없다고 생각하는 것: 관계 {(1, 1)}은 둘 다입니다.
g ∘ f를 잘못된 순서로 적용하는 것: 먼저 작용하는 것은 f입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 벤 다이어그램과 부분집합. 벤 다이어그램에서 집합식의 원소 수를 세고, 식에 해당하는 영역을 클릭하고, 멱집합, 곱집합, 부분집합족의 크기를 구합니다.
보통: 포함·배제와 관계. 집합 두 개와 세 개의 개수 문제를 풀고, 영역별 합계로 식의 원소 수를 세고, 관계가 어떤 성질을 갖는지 판단하고, 폐포에 필요한 쌍의 수를 셉니다.
어려움: 함수와 세기. 함수를 단사, 전사, 전단사로 분류하고, 함수, 단사, 전사의 개수를 세고, 합성과 역함수를 계산하고, 동치 관계의 쌍의 수를 셉니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

A = {a, b, c, x, y}, B = {1, 2, 3, 4}이라 하자. |𝒫(A)|을(를) 구하시오.

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

구하는 값: |𝒫(A)|

힌트 보기

원소가 k개인 집합은 부분집합이 2ᵏ개입니다. 각 원소가 부분집합에 들어 있거나 아니거나 둘 중 하나이기 때문입니다.
|A| = 5, |B| = 4.
|𝒫(A)| = 2^|A|.

정답과 단계별 풀이 보기

함수와 세기: 함수 f: A → B는 A의 모든 원소에 B의 상을 정확히 하나씩 대응시킵니다. 서로 다른 원소가 서로 다른 상을 가지면 f는 단사(일대일), B의 모든 원소가 상이면 전사(위로의 함수), 둘 다 성립하면 전단사입니다. |A| = m, |B| = n이면 함수는 nᵐ개, 단사 함수는 n!/(n − m)!개(m ≤ n)이고, 포함·배제에 따라 전사 함수는 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ개입니다. |𝒫(A)| = 2ᵐ, |A × B| = m·n입니다.

크기

|A| = 5

|B| = 4

세기

|𝒫(A)| = 2⁵ = 32

답

|𝒫(A)| = 32

예제 2보통

1학년 학생 53명 중 35명이 수학(M), 28명이 물리(P), 29명이 화학(C)에 합격했다. 20명이 M과 P에, 18명이 M과 C에, 10명이 P와 C에 합격했고 6명이 세 과목 모두에 합격했다. 세 집합 어디에도 속하지 않는 것은 몇 개인가?

|U| = 53

구하는 값: |(M ∪ P ∪ C)′|

힌트 보기

벤 다이어그램을 가운데에서 바깥쪽으로 채우세요. 먼저 세 집합 모두, 그다음 쌍, 그다음 한 집합씩.
M와(과) P에만 속함(C에는 속하지 않음): 20 − 6 = 14. M에만 속함: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
적어도 한 집합: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.

정답과 단계별 풀이 보기

집합과 벤 다이어그램: A ∪ B는 A 또는 B(또는 둘 다)에 속하는 원소, A ∩ B는 둘 다에 속하는 원소, A − B는 A의 원소 중 B에 속하지 않는 원소이고, 여집합 A′는 U의 원소 중 A에 속하지 않는 모든 것입니다. 벤 다이어그램에서 모든 집합식은 영역들의 합집합이므로 영역별로 세세요. 포함·배제: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, 그리고 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

가운데와 쌍

M ∩ P ∩ C: 6

M ∩ P 만: 20 − 6 = 14

M ∩ C 만: 18 − 6 = 12

P ∩ C 만: 10 − 6 = 4

한 집합씩

M 만: 35 − 14 − 12 − 6 = 3

P 만: 28 − 14 − 4 − 6 = 4

C 만: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

답

|M ∪ P ∪ C| = 50

|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

답

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3

예제 3어려움

{1, 2, 3, 4, 5} 위의 함수 f와 g가 표로 주어져 있다. (f ∘ g)(5)을(를) 구하시오.

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

구하는 값: (f ∘ g)(5)

힌트 보기

(f ∘ g)(x)는 f(g(x))를 뜻합니다: 먼저 g, 그다음 f.
안쪽 값은 g(5) = 1입니다.
이제 1에 바깥쪽 함수를 적용하세요.

정답과 단계별 풀이 보기

안쪽 함수

g(5) = 1

바깥쪽 함수

f(1) = 1

(f ∘ g)(5) = 1

답

(f ∘ g)(5) = 1

질문과 답변

집합, 관계, 함수: 무엇인가요?

여기서 |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25, |(A ∪ B)′| = 15입니다.

집합, 관계, 함수 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

벤 다이어그램을 그리고, 집합식에 속하는 영역을 영역별로 판단하세요.
개수를 세는 문제에서는 가운데에서 바깥쪽으로 영역을 채우세요. 모든 집합, 그다음 두 집합씩, 그다음 한 집합, 마지막으로 바깥쪽 순서입니다.
포함·배제 원리로 확인하세요: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
관계는 모든 쌍에서 각 성질을 검사하고, 성립하지 않으면 반례를 하나 드세요.
함수는 B의 각 원소로 들어오는 화살표를 세세요. 많아야 하나이면 단사이고, 적어도 하나이면 전사입니다.

집합, 관계, 함수에서 자주 하는 실수는?

겹치는 부분을 빼지 않고 |A|와 |B|를 더하는 것.
집합이 세 개일 때 가운데 부분을 다시 더하는 것을 잊는 것.
함수의 개수에서 지수를 바꿔 쓰는 것: m개 원소를 n개로 보내는 함수는 nᵐ개입니다.
g ∘ f를 잘못된 순서로 적용하는 것: 먼저 작용하는 것은 f입니다.
동치 관계의 순서쌍을 셀 때 (x, x) 쌍을 빠뜨리는 것.

집합, 관계, 함수 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 벤 다이어그램과 부분집합
보통: 포함·배제와 관계
어려움: 함수와 세기

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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집합, 관계, 함수: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

연습 내용

집합, 관계, 함수 문제 푸는 방법

흔한 실수

핵심 공식

집합, 관계, 함수 처음부터 배우기

1집합과 집합 연산

2포함·배제로 세기

3풀이 예제

중심

두 과목만

한 과목만

합집합과 여집합

4관계

5함수

6흔한 실수

7시험 문제의 유형

예제 풀이

크기

세기

답

가운데와 쌍

한 집합씩

답

답

안쪽 함수

바깥쪽 함수

답

질문과 답변

연습 방법

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