미분방정식: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 미분방정식 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 지수적 성장과 감소, 뉴턴의 냉각 법칙, 1계 선형 미분방정식.

무료 연습 문제쉬움
ty1

질량-스프링-댐퍼가 y″ + 4.8y′ + 4y = 0으로 기술됩니다. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0과 비교하여 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

y″ + 4.8y′ + 4y = 0
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미분방정식 무료로 연습하기지금 미분방정식 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움지수적 성장과 감소
  2. 보통뉴턴의 냉각 법칙
  3. 어려움1계 선형 미분방정식

핵심 공식

지수적 성장/감소
dy/dt = ky → y = y0ekt
반감기
k = ln 2 / t½
뉴턴의 냉각 법칙
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
적분 인자
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
혼합 탱크
dm/dt = r·c − (r/V)·m

미분방정식 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 도함수, 적분

1미분방정식이란 무엇인가

미분방정식은 어떤 양을 그 자신의 변화율과 연결합니다. 무엇인지가 아니라 어떻게 변하는지를 설명합니다.

박테리아는 분열하므로 군집이 클수록 더 빨리 자랍니다. 성장률은 세포 수 N에 비례합니다.

dN/dt = k · N

여기서 dN/dt는 시간 t에 대한 N의 도함수이고 k는 속도 상수입니다. k = 0.4 h⁻¹이고 N = 1000개이면 그 순간 군집은 시간당 400개씩 늘어납니다.

방정식을 푼다는 것은 함수 N(t) 자체를 찾는 것입니다. N(0) = 200 같은 시작 값도 필요합니다. 이것을 초기 조건이라고 합니다.

자가 점검 개체군이 dN/dt = 0.2 · N을 따른다. 지금 N = 500이다. 얼마나 빨리 자라는가?
  1. 시간당 0.2
  2. 시간당 100
  3. 시간당 2500
  4. 시간당 500

답: 시간당 100. 수를 방정식에 넣으세요: dN/dt = 0.2 · 500 = 100. 500을 0.2로 나누면 2500이 되는데, k를 거꾸로 쓴 것입니다.

2지수 성장과 감쇠

방정식 dy/dt = k·y는 항상 같은 해, 지수 함수를 가집니다.

y(t) = y0 · ekt

여기서 y0는 t = 0일 때의 값입니다. k가 양수이면 성장입니다. 감쇠에서는 방정식이 dy/dt = −k·y이고 해는 y = y0e−kt입니다.

방사성 붕괴는 흔히 반감기 t½로 주어집니다. 물질이 절반 남는 데 걸리는 시간입니다. 속도 상수는 이로부터 나옵니다.

k = ln 2 / t½

시간을 구하려면 양변에 자연 로그를 취하세요.

t = ln(y / y0) / k

예를 들어 k = 0.4 h⁻¹로 자라는 200개의 세포는 t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 h 뒤에 1000개에 이릅니다.

자가 점검 어떤 물질의 반감기는 10일이다. 80 mg으로 시작한다. 20일 뒤에 얼마가 남는가?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

답: 20 mg. 20일은 반감기 두 번입니다: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg은 절반 두 개가 전체라고 생각한 값입니다. 양은 매번 절반이 됩니다.

3냉각과 선형 방정식

뉴턴의 냉각 법칙: 뜨거운 물체는 방보다 훨씬 뜨거울 때 더 빨리 식습니다. 실온을 Ta라고 하면 다음과 같습니다.

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

차 T − Ta는 지수적으로 줄어들므로 온도는 실온을 향해 움직이며 그 아래로 내려가지 않습니다.

한 번의 측정에서 k를 구하려면 알려진 값을 넣고 ln을 취하세요: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

1계 선형 방정식은 y′ + p(x)·y = q(x) 꼴입니다. 여기에 적분 인자 μ를 곱하세요.

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

그다음 양변을 적분하고 μ로 나눕니다. p = 2/x이면 μ = e2 ln x = x²입니다.

자가 점검 90 °C의 차를 20 °C의 방에 둔다. 아주 오랜 시간이 지나면 어떤 온도에 가까워지는가?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

답: 20 °C. 항 (T0 − Ta)e−kt가 0으로 가므로 T는 Ta = 20 °C에 가까워집니다. 0 °C는 실온을 잊었을 때의 답입니다.

4단계별 방법

  1. 유형을 알아보세요: dy/dt = ky(성장 또는 감쇠), 뉴턴의 냉각, 또는 y′ + p(x)y = q(x).
  2. 그 유형의 표준 해를 쓰세요.
  3. 주어진 자료로 상수를 구하세요. y0는 시작 값에서, k는 반감기나 두 번째 측정에서.
  4. 묻는 것에 답하세요. 시간을 넣어 값을 구하거나, ln으로 시간을 구하세요.
  5. k의 단위(h⁻¹, min⁻¹)를 t의 단위와 맞춰 확인하세요.

선형 방정식에서는 μ를 구하고, (μy)′ = μq를 적분하고, 상수 C를 더한 다음, 초기 조건으로 C를 구하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

방사성 추적자의 반감기는 8일이다. 시료는 처음에 60 mg을 포함한다. 붕괴는 dm/dt = −k·m을 따른다. 12일 뒤에 남는 양 m은 얼마인가?

1

유형 알아보기

이것은 지수 감쇠이므로 해는 다음과 같습니다.

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

반감기에서 k 구하기

k = ln 2 / 8 = 0.6931 / 8 = 0.08664 일⁻¹
3

시간 넣기

k · t = 0.08664 · 12 = 1.0397
m = 60 · e−1.0397 = 60 · 0.3536 = 21.21 mg
4

답 검산

12일은 반감기 1.5번입니다. 8일 뒤에는 30 mg, 16일 뒤에는 15 mg이 남으므로 21.2 mg은 그 사이에 있으며 예상대로입니다.

60 · 0.51.5 = 21.21 mg
tm608301615247.51221.2
답

12일 뒤에 m ≈ 21.2 mg이 남습니다.

6흔한 실수

  • 뉴턴의 냉각 법칙에서 실온 Ta를 빼고 다시 더하는 것을 잊는 것.
  • 감쇠에 양의 지수를 써서 양이 줄지 않고 늘어나게 하는 것.
  • 자연 로그 ln 대신 log10을 쓰는 것.
  • 시간 단위를 섞는 것. 예를 들어 min⁻¹ 단위의 k와 시간 단위의 t.
  • 적분 인자에서 좌변에만 μ를 곱하는 것.
자가 점검 80 °C의 부품이 20 °C의 방에서 식는다. 어느 시각 t에 e−kt = 0.5이다. 그때의 온도는 얼마인가?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

답: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0.5 = 20 + 30 = 50 °C. 80을 바로 절반으로 하면 40 °C가 되는데, 실온을 잊은 것입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 지수 성장과 감쇠. 일정 시간 뒤의 양이나 어떤 양에 이르는 시간을 구하며, 흔히 반감기에서 시작합니다.
  • 보통: 뉴턴의 냉각 법칙. 한 번의 측정으로 k를 구한 다음 온도나 시간을 구합니다.
  • 어려움: y(1) = 1인 y′ + 2y/x = 3 같은 1계 선형 방정식. 적분 인자를 쓰고 다른 x에서의 y를 구합니다.

빠른 점검: 감쇠와 냉각의 답은 시작 값과 최종 값(0 또는 실온) 사이에 있어야 합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
rr² + br + c?

방정식 y″ + 4y′ + 3y = 0에서 특성방정식의 근 중 0에 가장 가까운 근 r을(를) 구하시오. 이 근이 해가 얼마나 느리게 사라지는지를 정합니다.

y″ + 4y′ + 3y = 0

구하는 값: r

힌트 보기
  1. y = ert를 대입하세요.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. 인수분해하거나 근의 공식을 쓰세요.
정답과 단계별 풀이 보기

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = ert를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·er₁t + B·er₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·ert(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0으로 쓰면 ωn은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성방정식

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

근

r = −1, r = −3
0에 가장 가까운: r = −1

답

r = −1

일반해는 y = A·e−1t + B·e−3t입니다.

예제 2보통
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

81 °C의 커피 한 잔을 21 °C인 방에 둡니다. 5분 후 온도는 73 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 50 °C에 도달하나요?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

구하는 값: t (min)

힌트 보기
  1. 먼저 t = 5분의 측정값으로 k를 구하세요.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
정답과 단계별 풀이 보기

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 상수

k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹

목표 온도까지 걸리는 시간

t = ln(60/29)/0.02862 = 25.4 min

답

t = 25.4 min
예제 3어려움
ty1y(1) = ?

y(0) = 4일 때 y′ + y = 4e−2t을(를) 푸세요. y(1)을(를) 구하세요.

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

구하는 값: y(1)

힌트 보기
  1. 적분 인자는 μ = et입니다.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. y(0)으로 C를 구하세요.
정답과 단계별 풀이 보기

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

적분 인자

μ = et
(ety)′ = 4e−t

일반해

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

초기 조건

4 = −4 + C → C = 8

계산하기

y(1) = −4·0.1353 + 8·0.3679 = 2.402

답

y(1) = 2.402

질문과 답변

미분방정식: 무엇인가요?

박테리아는 분열하므로 군집이 클수록 더 빨리 자랍니다. 성장률은 세포 수 N에 비례합니다.

여기서 dN/dt는 시간 t에 대한 N의 도함수이고 k는 속도 상수입니다. k = 0.4 h⁻¹이고 N = 1000개이면 그 순간 군집은 시간당 400개씩 늘어납니다.

미분방정식 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = ert를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·er₁t + B·er₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·ert(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0으로 쓰면 ωn은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

미분방정식에서 자주 하는 실수는?
  • 그것은 0에서 더 먼 다른 근입니다. 그 항은 더 빨리 사라집니다.
  • b와 c가 양수인 r² + br + c = 0의 근은 음수입니다.
  • −b/2는 두 근의 중점이지 근이 아닙니다.
미분방정식 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 지수적 성장과 감소
  • 보통: 뉴턴의 냉각 법칙
  • 어려움: 1계 선형 미분방정식

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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도함수적분

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