그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 다변수 미적분 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 편도함수와 이중적분, 그래디언트, 접평면, 연쇄 법칙, 임계점과 영역 위의 적분.
f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy일 때 점 (3, −3)에서 편도함수 ∂f/∂x를 구하시오.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
두 변수의 함수 z = f(x, y)는 xy평면 위의 곡면입니다. 지도에서는 f가 같은 값을 가지는 선인 등위선으로 그립니다.
편도함수는 한 방향의 기울기를 측정합니다. ∂f/∂x(fx로도 씁니다)는 y를 상수로 고정하고 x에 대해 보통의 규칙으로 미분합니다.
예: f(x, y) = x²y + 3y². fx에서는 y를 수로, fy에서는 x를 수로 다루세요.
(1, 2)에서 fx = 4, fy = 1 + 12 = 13입니다.
한 번 더 미분하면 이계 편도함수 fxx, fyy, fxy를 얻습니다. 혼합 도함수의 순서는 중요하지 않습니다: fxy = fyx. 여기서 fxy = 2x입니다.
답: 2x³y. x를 상수로 두면 x³은 상수 인수이고 y²은 2y를 주므로 fy = 2x³y입니다. 3x²y²은 ∂f/∂x입니다.
그래디언트는 두 편도함수를 모은 것입니다: ∇f = (fx, fy). f가 가장 빨리 증가하는 방향을 가리키며 등위선에 수직입니다.
가장 가파른 기울기 자체는 길이 |∇f| = √(fx² + fy²)입니다.
다른 방향 v의 기울기는 방향 도함수입니다. 먼저 v를 단위벡터 u = v/|v|로 만든 다음 내적을 취합니다.
(1, 2)에서 f = x²y + 3y²이면 ∇f = (4, 13)입니다. 방향 v = (3, 4)에서는 u = (0.6, 0.8)이므로 Duf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8입니다.
답: 5. |∇f| = √(3² + 4²) = 5입니다. 성분을 더하면 7이 되고, 제곱근을 잊으면 25가 됩니다.
점 (a, b) 근처에서 곡면은 거의 평평합니다. 접평면은 다음과 같습니다.
이것은 선형 근사 f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy를 줍니다.
예: f = x²y + 3y²에서 f(1, 2) = 14이므로 (1, 2) 근처에서 f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1입니다. 정확한 값은 13.129입니다.
x와 y가 모두 t에 의존할 때 연쇄 법칙은 두 경로를 더합니다: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
극대, 극소, 안장점에서는 곡면이 평평합니다: fx = 0, fy = 0. 이런 점이 임계점입니다.
이계 도함수 판정법은 그 점에서 D = fxxfyy − fxy²를 씁니다.
f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y의 임계점을 구해 분류하시오.
임계점은 (1, 2)와 (−1, 2)입니다.
D = 6·2 − 0 = 12 > 0이고 fxx = 6 > 0: 극소이며 f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6입니다.
D = −6·2 − 0 = −12 < 0: 안장점.
(1, 2)에서 극소이고 f = −6, (−1, 2)에서 안장점.
이중적분 ∬R f dA는 영역 R 위에서 f를 더합니다. f = 1이면 R의 넓이입니다. 안쪽 적분부터 두 번의 단일 적분으로 계산합니다.
직사각형 위에서는 적분 한계가 수입니다: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. 안쪽 적분은 x + 1을 주고, ∫02 (x + 1) dx = 4입니다.
일반적인 영역 위에서는 안쪽 적분 한계가 영역을 둘러싸는 곡선입니다. y = x²과 y = 2x 사이의 영역에서는 y가 x²에서 2x까지, x가 0에서 2까지 움직입니다.
원판과 부채꼴에는 극좌표를 쓰세요: x² + y² = r²이고 dA = r dr dθ입니다. 원판 r ≤ 2 위에서: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.
답: r dr dθ. 작은 극좌표 조각은 폭이 Δr이고 길이가 r·Δθ이므로 dA = r dr dθ입니다. 인수 r을 잊는 것이 가장 흔한 실수입니다.
쉬움: 한 점에서의 편도함수와 직사각형 위의 적분. 보통: 그래디언트, 방향 도함수, 접평면, 연쇄 법칙. 어려움: 임계점 분류와 곡선 영역 위의 적분(극좌표를 쓰거나 순서를 바꿈).
f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy일 때 점 (−1, −3)에서 편도함수 ∂f/∂x를 구하시오.
구하는 값: fx(−1, −3)
편도함수: ∂f/∂x는 y를 상수로 고정하고(y를 수처럼 다루고) x에 대해 보통 미분한 것이며, ∂f/∂y는 반대입니다. 규칙(거듭제곱, 곱, 연쇄)은 일변수와 같습니다. 혼합 이계 도함수는 순서에 관계없이 같습니다: fxy = fyx. 직사각형 위의 이중적분은 안쪽부터 두 번의 단일 적분으로 계산합니다: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.
y는 상수로 고정됩니다.
z = 2x²e3y이고 x = −t − 2, y = t² + 2이다. 연쇄 법칙을 이용해 t = 0에서 dz/dt을(를) 구하시오.
구하는 값: dz/dt
그래디언트: ∇f = (fx, fy)는 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키며, |∇f|는 가장 큰 변화율입니다. 방향 v를 따른 방향 도함수는 단위벡터 u = v/|v|에 대해 Duf = ∇f·u입니다. (a, b)에서의 접평면은 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)이며, 그 점 근처에서 f의 선형 근사를 줍니다. 연쇄 법칙: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
f(x, y) = x³ + y³ − 3xy은(는) (1, 1)에서 임계점을 가진다. 거기서 판별식 D = fxxfyy − fxy²를 계산하시오.
구하는 값: D
임계점과 이중적분: 임계점에서는 fx = fy = 0입니다. D = fxxfyy − fxy²를 쓰는 이계 도함수 판정법: D > 0이고 fxx > 0이면 극소, D > 0이고 fxx < 0이면 극대, D < 0이면 안장점, D = 0이면 아무것도 결정하지 못합니다. 일반적인 영역 위의 이중적분에서는 안쪽 적분 한계를 영역을 둘러싸는 곡선으로 두고, 원판과 부채꼴에는 극좌표 x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ를 쓰세요(인수 r을 잊지 마세요).
두 변수의 함수 z = f(x, y)는 xy평면 위의 곡면입니다. 지도에서는 f가 같은 값을 가지는 선인 등위선으로 그립니다.
예: f(x, y) = x²y + 3y². fx에서는 y를 수로, fy에서는 x를 수로 다루세요.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.