수치해석: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1왜 수치해석인가, 그리고 이분법

많은 방정식과 적분은 답의 공식이 없습니다: x = cos x, ∫e^−x²dx, 대부분의 미분방정식. 수치해석은 필요한 정확도까지 답을 단계별로 계산합니다.

이분법은 f의 부호가 바뀌는 구간 [a, b]에서 f(x) = 0의 근을 찾습니다. 중점 c = (a + b)/2를 잡고 부호가 여전히 바뀌는 쪽 절반을 남기세요.

예: [1, 2]에서 f(x) = x² − 2. c₁ = 1.5는 f = 0.25 > 0이므로 [1, 1.5]를 남깁니다. c₂ = 1.25는 f = −0.4375 < 0이므로 [1.25, 1.5]를 남깁니다. 그다음 c₃ = 1.375입니다.

단계마다 구간이 절반이 되므로 n단계 뒤 폭은 (b − a)/2ⁿ입니다. 이분법은 느리지만 부호 변화만 있으면 언제나 통합니다.

2뉴턴–랩슨법

뉴턴–랩슨법은 접선을 따라 x축까지 내려가 그 교점을 다음 추측값으로 씁니다.

f(x) = x² − 2, f′(x) = 2x, x₀ = 2일 때: x₁ = 2 − 2/4 = 1.5, x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667, x₃ = 1.414216. 근은 √2 = 1.414214입니다.

근 근처에서 뉴턴법은 단계마다 올바른 자릿수가 대략 두 배가 됩니다. f′(xₙ)이 0에 가깝거나 시작점이 근에서 멀면 실패할 수 있습니다.

모든 반복값에 적어도 여섯 자리를 유지하세요. 일찍 반올림하면 방법이 더 나아지지 못합니다.

3선형 보간

표는 특정한 점에서만 값을 줍니다. 선형 보간은 이웃한 두 표의 점 사이에 직선을 긋습니다.

예: 표에 f(1) = 2.0, f(2) = 2.6이 있습니다. x = 1.4에서 비율은 0.4이므로 f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24입니다.

역보간도 반대 방향으로 같은 방식입니다. y = 2.3인 곳을 찾으려면 비율은 (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5이므로 x ≈ 1.5입니다.

4사다리꼴 공식과 심프슨 공식

f를 a에서 b까지 적분하려면 구간을 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀, x₁, …, xₙ이라 합니다.

사다리꼴 공식은 각 띠의 곡선을 직선으로 바꿉니다. 안쪽 절점은 두 띠에 속하므로 두 번 셉니다.

심프슨 공식은 한 번에 세 절점을 지나는 포물선을 맞춥니다. n은 짝수여야 합니다.

n = 2(h = 0.5)로 ∫₀¹ x² dx = 1/3을 구하면: T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375이고 S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333으로 정확합니다.

사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼, 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. h를 절반으로 하면 심프슨 공식은 약 16배 더 정확해집니다.

5미분방정식을 위한 오일러법과 호인법

y(t₀) = y₀인 y′ = f(t, y)에서 단계 h만큼 시간을 앞으로 진행합니다. 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 씁니다.

호인법(개선된 오일러법)은 오일러로 예측한 다음 양 끝의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).

오일러법의 오차는 h에, 호인법의 오차는 h²에 비례합니다. 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 기울기 네 개를 쓰며 h⁴까지 정확합니다.

6자주 하는 실수와 시험 문제

• 첫 번째 이분법 중점을 0단계로 세거나 구간의 잘못된 절반을 남기는 것.
• 뉴턴법에서 x − f/f′ 대신 x − f′/f를 쓰는 것.
• 안쪽 절점의 인수 2를 잊거나 사다리꼴 공식에서 h/2 대신 h를 쓰는 것.
• 홀수 개의 띠에 심프슨 공식을 쓰는 것.
• 오일러법에서 단계 끝의 기울기를 쓰거나 한 단계를 덜 하는 것.

쉬움: 이분법, 뉴턴 반복, 표에서의 보간. 보통: 사다리꼴 공식과 심프슨 공식, 그 오차와 필요한 띠의 수. 어려움: 미분방정식을 위한 오일러, 호인, 룽게–쿠타 단계.