그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 행렬과 행렬식 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 2×2 행렬식, 3×3과 행렬 곱, 고윳값과 연립방정식.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
행렬은 행과 열로 배열한 수의 표입니다. 2행 3열의 행렬을 2×3 행렬이라고 합니다. 행이 먼저, 열이 그다음입니다.
공학자는 행렬로 여러 방정식을 한꺼번에 씁니다. 연립방정식 2x + y = 5와 x − y = 1은 계수의 행렬 [2 1; 1 −1]로 저장됩니다.
정사각 행렬에는 행렬식이라는 특별한 수가 하나 있으며 det A로 씁니다. 2×2 행렬에서는 한 대각선의 곱에서 다른 대각선의 곱을 뺀 것입니다.
[3 1; 2 4]의 행렬식은 3·4 − 1·2 = 10입니다.
det A = 0이면 행렬은 역행렬이 없고 연립방정식은 단 하나의 해를 갖지 않습니다.
답: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. 두 곱을 더하면 26이 되고, bc − ad를 계산하면 −14가 됩니다.
3×3 행렬은 첫 번째 행을 따라 전개하세요. 각 성분에 그 소행렬식을 곱합니다. 그 성분의 행과 열을 지웠을 때 남는 2×2 행렬식입니다.
첫 번째 행을 따라 부호는 + − +입니다. 이 부호 패턴이 가장 잊기 쉽습니다.
행렬의 곱 AB는 A의 행과 B의 열로 만듭니다. i행 j열의 성분은 A의 i행과 B의 j열을 곱한 것입니다. 짝끼리 곱해서 더하세요.
곱은 A의 열 수가 B의 행 수와 같을 때만 존재합니다. 일반적으로 AB는 BA와 같지 않습니다.
답: 9. A의 1행은 (2, 1)이고 B의 2열은 (4, 1)입니다: 2·4 + 1·1 = 9. 대응하는 성분만 곱하면 1·4 = 4이고, 13은 BA의 성분입니다.
A의 고윳값 λ는 어떤 벡터 v ≠ 0에 대해 A·v = λ·v가 되는 수입니다. 행렬은 그 벡터를 늘이기만 하고 돌리지 않습니다.
고윳값은 특성방정식에서 구합니다. 여기서 I는 단위 행렬 [1 0; 0 1]입니다.
2×2 행렬에서는 이것이 이차방정식이 됩니다. 가운데 계수는 대각합(trace) a + d이고 상수항은 det A입니다.
[4 1; 2 3]에서: λ² − 7λ + 10 = 0이므로 (λ − 2)(λ − 5) = 0이고 고윳값은 2와 5입니다.
크라메르 공식은 행렬식으로 연립방정식을 풉니다. A의 i열을 우변으로 바꾸어 Ai를 얻으면 xi = det Ai / det A입니다.
2x + y = 5와 x − y = 1에서: det A = −3이고 det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6이므로 x = −6/−3 = 2입니다.
답: 3. λ² − 4λ + 3 = 0에서 (λ − 1)(λ − 3) = 0이므로 고윳값은 1과 3입니다. 4는 고윳값의 합인 대각합이며 고윳값이 아닙니다.
요령: 0이 많은 행이나 열을 따라 전개하세요. 0인 성분마다 소행렬식 하나를 아낄 수 있습니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
3×3 행렬 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4]의 행렬식을 구하시오.
성분 2의 1행과 1열을 지우세요. 남는 것은 [3 1; 2 4]입니다.
성분 1의 1행과 2열을 지우세요. 남는 것은 [1 1; 0 4]입니다.
성분 a13은 0이므로 소행렬식이 무엇이든 그 항은 0입니다. 건너뛰어도 됩니다.
3×3 행렬에서는 사루스의 규칙도 같은 값을 줍니다: “아래로” 가는 대각선 곱 셋에서 “위로” 가는 대각선 곱 셋을 뺍니다.
det A = 16
답: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. 가운데 항에 +를 쓰면 2 + 12 = 14가 되는데, 가장 흔한 실수입니다.
고윳값의 빠른 점검: 합이 대각합 a + d이고 곱이 det A여야 합니다.
주어진 행렬 A의 행렬식 det A를 구하세요.
구하는 값: det A
행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.
주어진 3×3 행렬 A의 행렬식 det A를 구하세요.
구하는 값: det A
행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.
연립방정식 −3x − 5y = 1, −2x − 4y = 9을 푸세요. x를 구하세요.
구하는 값: x
행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.
공학자는 행렬로 여러 방정식을 한꺼번에 씁니다. 연립방정식 2x + y = 5와 x − y = 1은 계수의 행렬 [2 1; 1 −1]로 저장됩니다.
정사각 행렬에는 행렬식이라는 특별한 수가 하나 있으며 det A로 씁니다. 2×2 행렬에서는 한 대각선의 곱에서 다른 대각선의 곱을 뺀 것입니다.
행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.