적분: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 적분 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 다항식, 지수, 로그, 치환, 곡선 사이의 넓이.

무료 연습 문제쉬움
xy−2−1

I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx를 계산하세요.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
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적분 무료로 연습하기지금 적분 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움다항식
  2. 보통지수, 로그, 치환
  3. 어려움곡선 사이의 넓이

적분 문제 푸는 방법

  1. 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
  2. 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
  3. 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
  4. 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

흔한 실수

  • 새 지수로 나누는 것을 잊는 것.
  • 치환한 뒤 적분 구간을 바꾸지 않는 것.
  • 부정적분에서 + C를 잊는 것.

핵심 공식

거듭제곱 미분법
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분
∫ab f dx = F(b) − F(a)
주요 적분
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이
∫ab (f − g) dx

적분 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 도함수

1적분이란 무엇인가

적분은 변하는 양을 합산합니다. 가장 분명한 그림은 그래프 아래의 넓이입니다.

자동차가 20 m/s로 5초 동안 달립니다. 20 · 5 = 100 m를 갑니다. 속력-시간 그래프에서 그것은 선 아래 직사각형의 넓이입니다.

xy520100

속력이 변하면 그래프 아래의 모양은 곡선이 되지만 아이디어는 같습니다. 넓이가 거리입니다.

x = a에서 x = b까지 f 아래의 넓이를 다음과 같이 씁니다.

∫ab f(x) dx

수 a와 b는 적분의 구간 끝(적분 한계)입니다. dx는 x가 변수임을 알려 줍니다.

자가 점검 자전거 타는 사람이 4초 동안 일정하게 10 m/s로 달린다. 속력-시간 그래프 아래의 넓이는 얼마인가?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2.5 m
  4. 40 m

답: 40 m. 넓이는 직사각형입니다. 높이 10 m/s 곱하기 너비 4 s는 40 m입니다. 10을 4로 나눈 2.5는 넓이가 아닙니다.

2부정적분과 거듭제곱 법칙

적분은 거꾸로 하는 미분입니다. f의 부정적분(원시함수) F는 도함수가 f인 함수입니다.

(x³)′ = 3x²이므로 3x²의 부정적분은 x³입니다. 어떤 상수든 더할 수 있으므로 ∫3x² dx = x³ + C로 씁니다.

적분의 거듭제곱 법칙: 지수를 1 올린 다음 새 지수로 나눕니다.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • 상수 인수는 앞에 그대로 남습니다: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • 상수만 있을 때: ∫4 dx = 4x + C.
  • 합에서는 각 항을 따로 적분하세요.

이것들도 외워 두세요: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x, ∫sin x dx = −cos x.

부정적분은 언제든 확인할 수 있습니다. 미분하면 원래 함수가 나와야 합니다.

자가 점검 ∫6x² dx는 무엇인가?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

답: 2x³ + C. 지수를 3으로 올리고 3으로 나눕니다: 6x³/3 = 2x³. 12x는 도함수이지 적분이 아니고, 6x³은 새 지수로 나누는 것을 잊은 것입니다.

3정적분과 넓이

정적분은 구간 끝이 있고 수를 줍니다. 부정적분 F를 구한 다음 두 구간 끝에서의 값을 뺍니다.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

상수 C는 뺄셈에서 소거되므로 여기서는 생략해도 됩니다.

예: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296, ln 1 = 0이기 때문입니다.

치환은 함수 안에 다른 함수가 있을 때 도움이 됩니다. e0.5x에서는 u = 0.5x로 놓습니다. 결과는 위의 규칙, 즉 0.5로 나누는 것입니다.

∫03 e0.5x dx = 2e0.5x |03 = 2(e1.5 − 1) ≈ 6.963

두 곡선 사이의 넓이는 두 곡선이 만나는 점 사이에서 위쪽 곡선에서 아래쪽 곡선을 뺀 것의 적분입니다.

y = 2x와 y = x²는 x = 0과 x = 2에서 만납니다. 그 구간에서 2x가 위에 있습니다.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
자가 점검 곡선 y = x와 y = x²는 x = 0과 x = 1에서 만난다. 둘 사이에서 y = x가 위에 있다. 둘러싸인 넓이는 얼마인가?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

답: 1/6. 0에서 1까지 ∫(x − x²) dx는 1/2 − 1/3 = 1/6입니다. 아래에서 위를 빼면 −1/6이 되고, 두 적분을 더하면 5/6이 됩니다.

4단계별 방법

  1. 함수를 간단한 항의 합으로 다시 쓰세요. 제곱근과 분수는 거듭제곱으로 쓰세요: √x = x1/2.
  2. 거듭제곱 법칙이나 기본 적분으로 각 항의 부정적분을 구하세요.
  3. 머릿속으로 미분해서 빠르게 확인하세요.
  4. 정적분에서는 F(b)와 F(a)를 따로 계산하세요.
  5. 빼세요: F(b) − F(a). a가 음수일 때 마이너스 부호에 주의하세요.

두 곡선 사이의 넓이에서는 먼저 f(x) = g(x)를 풀어 구간 끝을 구한 다음 위에서 아래를 뺀 것을 적분하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx를 계산하시오.

1

항별로 적분하기

3x²은 3x³/3 = x³이 됩니다. 2x는 2x²/2 = x²이 됩니다. 상수 1은 x가 됩니다.

F(x) = x³ + x² + x
2

미분하여 확인하기

F′(x) = 3x² + 2x + 1

이것은 원래 함수이므로 F가 맞습니다.

3

위쪽 구간 끝에서의 값

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

아래쪽 구간 끝에서의 값

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

빼기

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

적분은 x = 0과 x = 2 사이 곡선 아래의 색칠한 넓이입니다.

답

I = 14

6흔한 실수

  • 새 지수로 나누는 것을 잊는 것.
  • 적분 대신 미분하는 것: 지수를 올리지 않고 내리는 것.
  • ∫1/x dx를 x⁰/0으로 쓰는 것. 거듭제곱 법칙은 n = −1에서 성립하지 않습니다. ln|x|를 쓰세요.
  • a가 음수일 때 F(a)의 마이너스 부호를 잊는 것. 예: (−1)³ = −1.
  • 부정적분에서 + C를 잊거나 치환 뒤에 구간 끝을 바꾸지 않는 것.
자가 점검 ∫02 x³ dx는 무엇인가?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

답: 4. F(x) = x⁴/4이므로 F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4입니다. 새 지수 4로 나누는 것을 잊으면 16이 됩니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 다항식의 정적분으로, 구간 끝이 음수일 때도 있습니다. 거듭제곱 법칙과 F(b) − F(a)를 씁니다.
  • 보통: 지수 함수, 로그, 치환. 예를 들어 두 구간 끝 사이의 ∫e0.5x dx나 ∫3/x dx.
  • 어려움: y = x²과 y = 4x 같은 두 곡선으로 둘러싸인 넓이. 만나는 점을 구한 다음 위에서 아래를 뺀 것을 적분합니다.

빠른 점검: 두 곡선으로 둘러싸인 넓이는 항상 양수입니다. 음수가 나오면 빼는 순서가 틀린 것입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
xy3y = 0.5x

y = 0.5x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 3까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

구하는 값: V

힌트 보기
  1. x에서의 조각은 반지름 y = 0.5x인 원판입니다.
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
정답과 단계별 풀이 보기

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀3 0.25x² dx

적분하기

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

답

V = 7.069

확인: 반지름 1.5, 높이 3인 원뿔은 (1/3)πr²h = 7.069입니다.

예제 2보통
xy2y = x·cos x

I = ∫₀2 x·cos x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀2 x·cos x dx

구하는 값: I

힌트 보기
  1. u = x, dv = cos x dx로 놓으세요.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
정답과 단계별 풀이 보기

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

원시함수

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

극한

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

답

I = 0.4024
예제 3어려움
xyy = 2x2​y = x

y = 2x2과 y = x로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 2x2y = x

구하는 값: A

힌트 보기
  1. 먼저 두 곡선이 만나는 점을 구합니다: 두 식을 같게 놓으세요.
  2. 두 곡선은 x = 0과 x = 0.5에서 만납니다. 그 사이에서는 직선이 포물선 위에 있습니다.
  3. A = ∫00.5 (x − 2x2) dx.
정답과 단계별 풀이 보기

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

교점

2x2 = x → x = 0, x = 0.5

위에서 아래를 빼서 적분하기

A = [0.5x2 − 0.6667x3]00.5 = 0.04167

답

A = 0.04167

질문과 답변

적분: 무엇인가요?

적분은 변하는 양을 합산합니다. 가장 분명한 그림은 그래프 아래의 넓이입니다.

자동차가 20 m/s로 5초 동안 달립니다. 20 · 5 = 100 m를 갑니다. 속력-시간 그래프에서 그것은 선 아래 직사각형의 넓이입니다.

적분 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
  2. 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
  3. 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
  4. 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.
적분에서 자주 하는 실수는?
  • 새 지수로 나누는 것을 잊는 것.
  • 치환한 뒤 적분 구간을 바꾸지 않는 것.
  • 부정적분에서 + C를 잊는 것.
적분 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 다항식
  • 보통: 지수, 로그, 치환
  • 어려움: 곡선 사이의 넓이

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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먼저 배우기

도함수

다음 단계

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계산기

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