카이제곱 검정: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1카이제곱 검정이 하는 일

카이제곱 검정(χ²)은 도수를 비교합니다. 관찰한 도수가 기대하는 도수와 우연이라고 보기에는 더 크게 다른지를 묻습니다.

예: 주사위를 60번 던집니다. 공정하다면 각 면이 약 60 · 1/6 = 10번 나와야 합니다. 이것이 기대 도수 E입니다.

관찰한 값은 8, 12, 9, 11, 6, 14입니다. 이것이 관찰 도수 O입니다. 공정한 주사위여도 정확히 10이 되는 일은 없습니다. 문제는 그 차이가 지나치게 큰지입니다.

모든 가설 검정에서처럼 H₀는 특별한 일이 없다고 말합니다. 주사위가 공정하다, 또는 두 변수가 독립이다 하는 식입니다.

2검정 통계량

각 범주마다 차이 O − E를 구해 제곱하고 E로 나눕니다. 그런 다음 모든 범주에 대해 더합니다:

제곱하면 모든 항이 양수가 됩니다. E로 나누면 기대값이 1000일 때보다 10일 때 4의 차이가 더 크게 반영됩니다.

주사위의 경우: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2.

이 적합도 검정의 자유도는 df = k − 1이며, k는 범주의 수입니다. 면이 여섯이면 df = 5입니다.

χ²가 크면 자료가 H₀와 잘 맞지 않는다는 뜻입니다. χ²가 표의 임계값보다 크면 H₀를 기각합니다. α = 0.05에서:

• df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
• df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592

주사위의 경우 4.2는 11.070보다 작으므로 공정하지 않다는 증거는 없습니다.

3독립성 검정

분할표는 처리(행)와 결과(열)처럼 두 변수에 따라 한꺼번에 사례를 센 표입니다. H₀: 두 변수는 독립이다.

두 변수가 독립이면 각 칸의 기대 도수는 합계로부터 구해집니다:

그런 다음 χ²는 앞과 같은 공식으로, 합계를 제외한 표의 모든 칸에 대해 계산합니다.

여기서 r은 행의 수, c는 열의 수이며 합계는 세지 않습니다. 2×2 표의 자유도는 df = 1입니다.

4단계별 방법

1. H₀를 쓰세요: 주장된 비율이 맞다(적합도), 또는 변수들이 독립이다.
2. 모든 기대 도수를 계산하세요: E = n · p, 또는 행 합계 × 열 합계 / 총계.
3. 각 칸마다 (O − E)²/E를 계산하세요. 모두 더하면 χ²가 됩니다.
4. 자유도를 구하세요: 적합도는 k − 1, 독립성은 (r − 1)(c − 1).
5. 그 자유도에서 α = 0.05의 임계값을 찾으세요.
6. χ²가 임계값보다 크면 H₀를 기각하세요. 결론을 말로 쓰세요.

확인: 각 행과 열의 기대 도수의 합은 관찰 도수의 합과 같은 합계가 되어야 합니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 도수 대신 백분율이나 비율을 쓰기. χ²는 도수에만 쓸 수 있습니다.
• E 대신 O로 나누기.
• 합계 행이나 열을 합에 포함하기.
• 잘못된 자유도 쓰기: 표에서는 (r − 1)(c − 1)이며 칸의 수에서 1을 뺀 값이 아닙니다.
• χ²가 임계값보다 작은데 H₀를 기각하기. 큰 χ²만이 H₀에 반하는 증거입니다.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 적합도. 주사위 눈이나 사탕 색깔의 도수를 주장된 비율과 비교하여 χ²를 계산합니다.
• 보통: 독립성 검정. 합계로 기대 도수를 구한 뒤 연속성 수정 없이 χ²를 계산합니다.
• 어려움: 임계값 판정. 표에서 자유도와 α = 0.05의 임계값 χ²_crit를 구합니다.

간단한 확인: χ²는 결코 음수가 아니며, 모든 관찰 도수가 기대 도수와 같을 때만 0입니다.