그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 기술통계 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 평균과 중앙값, 표준편차, 정규분포.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
기술통계는 자료라고 하는 숫자 목록을 몇 개의 값으로 요약합니다. 첫 번째 물음은 중심이 어디인가입니다.
평균은 보통의 평균입니다: 모든 값을 더하고 개수 n으로 나눕니다.
기호 Σ는 “모두 더한다”는 뜻이고 x̄는 “엑스 바”라고 읽습니다. 3, 5, 10의 평균은 18/3 = 6입니다.
중앙값은 자료를 작은 값부터 큰 값으로 정렬한 뒤의 가운데 값입니다.
극단값 하나, 즉 이상치는 평균을 자기 쪽으로 끌어당기지만 중앙값은 거의 움직이지 않습니다. 소득을 흔히 중앙값으로 요약하는 이유입니다.
답: 21. 정렬하면 4, 17, 20, 22, 29, 40입니다. 가운데 두 값은 20과 22이므로 중앙값은 21입니다. 25.5는 정렬하지 않은 목록의 가운데를 취한 값이고, 22는 평균입니다.
두 자료는 평균이 같아도 퍼짐이 매우 다를 수 있습니다. 표준편차 s는 값들이 평균에서 보통 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.
각 값에는 편차 x − x̄가 있습니다. 편차의 합은 0이므로 먼저 제곱하여 모두 양수로 만듭니다.
이것은 표본 표준편차입니다: n이 아니라 n − 1로 나눕니다. s의 제곱을 분산이라고 합니다.
2, 4, 6의 경우: 평균은 4, 편차는 −2, 0, 2, 제곱의 합은 8, 8/2 = 4, s = √4 = 2입니다.
답: 2. Σ(x − x̄)² = 8이고 n − 1 = 2로 나누면 4, √4 = 2입니다. n = 3으로 나누면 1.633이고, 4는 제곱근을 잊은 값이며, 0은 제곱하기 전 편차의 합입니다.
키나 시험 점수 같은 많은 측정값은 종 모양의 곡선, 즉 정규분포를 따릅니다. 중심은 평균 μ이고 폭은 표준편차 σ입니다.
z점수는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다:
μ = 70, σ = 10일 때 점수 74의 z = 4/10 = 0.4입니다. z가 음수이면 값이 평균보다 아래에 있다는 뜻입니다.
68–95–99.7 규칙: 값의 약 68%는 평균에서 1σ 이내, 95%는 2σ 이내, 99.7%는 3σ 이내에 있습니다.
μ = 50, σ = 5일 때 값 60의 z = 2입니다. 약 95%가 40과 60 사이에 있으므로 약 2.5%가 60보다 위에 있습니다. z표는 정확한 값 0.0228을 줍니다.
답: 16%. 115는 평균보다 1σ 위입니다. 68%가 1σ 이내에 있으므로 32%가 밖에 있고, 양쪽 꼬리에 똑같이 나뉘어 위쪽은 16%입니다. 32%는 두 꼬리로 나누는 것을 잊은 값입니다.
x, x − x̄, (x − x̄)² 열이 있는 표를 만들면 표준편차 계산이 깔끔해집니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
자료 4, 8, 6, 5, 7의 평균, 중앙값, 표본 표준편차 s를 구하시오.
정렬하면 4, 5, 6, 7, 8입니다. n = 5이므로 가운데 값은 세 번째입니다.
모든 값에서 평균을 뺍니다: −2, 2, 0, −1, 1. 확인: 합이 0입니다.
제곱합니다: 4, 4, 0, 1, 1.
확인: 값들이 평균에서 0, 1 또는 2만큼 떨어져 있으므로 보통의 거리가 약 1.6인 것은 말이 됩니다.
평균 x̄ = 6, 중앙값 6, s ≈ 1.58.
답: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1입니다. 점수가 평균보다 아래이므로 z는 음수입니다. −10은 σ로 나누는 것을 잊은 값입니다.
간단한 확인: 평균과 중앙값은 최솟값과 최댓값 사이에 있으며, s는 결코 음수가 아닙니다.
자료의 중앙값 M를 구하세요: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
구하는 값: M
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
구하는 값: s
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
어떤 양은 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 36보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
구하는 값: P
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
기술통계는 자료라고 하는 숫자 목록을 몇 개의 값으로 요약합니다. 첫 번째 물음은 중심이 어디인가입니다.
기호 Σ는 “모두 더한다”는 뜻이고 x̄는 “엑스 바”라고 읽습니다. 3, 5, 10의 평균은 18/3 = 6입니다.
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.