극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
성분
a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368
직각 형식
z = −3.759 + j1.368
b = 1.368
답
b = 1.368
예제 3어려움
n = 4, w = 16∠−60°일 때 zⁿ = w의 근은 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3이다. z₂의 실수부를 구하시오.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
구하는 값: Re(z₂)
힌트 보기
모든 근의 절댓값은 R1/n = 161/4 = 2입니다.
z₂의 편각은 φ = −60°, k = 2, n = 4일 때 (φ + 360°·k)/n입니다.
a = R1/n·cos(165°).
정답과 단계별 풀이 보기
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
근의 절댓값
161/4 = 2
근의 편각
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
직각 형식
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1.932 + j0.5176
Re(z₂) = −1.932
답
Re(z₂) = −1.932
4개의 근이 반지름 2인 원 위에 90° 간격으로 놓입니다.
질문과 답변
복소수: 무엇인가요?
방정식 x² = −1에는 실수 해가 없습니다. 공학에서는 j² = −1인 새로운 수 j를 추가합니다. 수학자는 i로 쓰지만, 공학에서는 i가 이미 전류를 뜻하므로 j를 씁니다.
z를 복소평면의 점 (a, b)로 그릴 수 있습니다. 실수부는 가로축을 따라, 허수부는 세로축을 따라 놓입니다.
복소수 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.
복소수에서 자주 하는 실수는?
곱셈을 풀 때 j²을 +1로 취급하는 것.
실수부와 허수부를 따로 나누는 것.
왼쪽 반평면의 점에 atan(b/a)를 편각으로 취하는 것.
특히 ejθ에서 도와 라디안을 혼동하는 것.
zⁿ = w의 근을 하나만 답하거나 절댓값의 n제곱근을 취하는 것을 잊는 것.
복소수 연습에서는 무엇을 다루나요?
쉬움: 직각 형식의 연산
보통: 극형식과 지수 형식
어려움: 드무아브르, 거듭제곱근, 방정식
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.