가설 검정과 신뢰구간: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1검정의 개념

기계가 병에 평균 500 mL를 채워야 합니다. 병 표본의 평균은 496 mL입니다. 기계가 잘못된 것일까요, 아니면 우연일까요?

가설 검정은 숫자로 그 질문에 답합니다. 두 개의 진술에서 출발합니다:

• 귀무가설 H₀: 아무것도 변하지 않았다. 여기서는 H₀: μ = 500.
• 대립가설 H₁: 의심하는 것. 여기서는 H₁: μ ≠ 500(양측), 또는 덜 채워지는 것만 걱정한다면 μ < 500(단측).

H₀가 참이라고 가정하고 묻습니다: 이 표본은 얼마나 드문가? 매우 드물다면 H₀를 기각합니다.

2검정 통계량

검정 통계량은 표본 평균이 H₀의 값 μ₀에서 표준오차 단위로 얼마나 떨어져 있는지를 측정합니다.

모집단 표준편차 σ를 알 때 z를 씁니다. 표본 표준편차 s만 알 때는 t를 씁니다:

z나 t가 0에 가까우면 표본이 H₀와 일치한다는 뜻입니다. 큰 양수나 음수 값이면 표본이 μ₀에서 멀리 떨어져 있다는 뜻입니다.

3판정: 임계값과 p값

자료를 보기 전에 유의 수준 α를 정합니다. 보통 0.05입니다. 참인 H₀를 기각할 위험으로 감수하는 크기입니다.

α = 0.05인 z 검정에서:

• 양측(H₁: μ ≠ μ₀): |z| > 1.96이면 H₀를 기각합니다.
• 단측(H₁: μ > μ₀): z > 1.645이면 H₀를 기각합니다. μ < μ₀이면: z < −1.645일 때 기각합니다.

p값은 H₀가 참일 때 적어도 이만큼 극단적인 결과가 나올 확률입니다. p < α이면 H₀를 기각합니다.

H₀를 기각하지 않는다고 해서 그것이 증명되는 것은 아닙니다. 자료가 그에 반하는 충분히 강한 증거가 아니라는 뜻일 뿐입니다.

검정과 신뢰구간은 일치합니다: 5%의 양측 검정은 μ₀가 95% 구간 x̄ ± 1.96 · σ/√n 밖에 있을 때에 한해 H₀를 기각합니다.

4단계별 방법

1. H₀와 H₁을 쓰고 검정이 단측인지 양측인지 정하세요.
2. z(σ를 알 때) 또는 t(s만 알 때, df = n − 1)를 고르세요.
3. 표준오차 σ/√n 또는 s/√n을 계산하세요.
4. 검정 통계량 (x̄ − μ₀) / 표준오차를 계산하세요.
5. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
6. 결론을 문제의 맥락에서 말로 쓰세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 양측 검정에 단측 임계값(1.645)을 쓰거나 그 반대로 하기.
• H₀이 기각되지 않았을 때 H₀이 참으로 증명되었다고 말하는 것.
• 표준오차에서 √n을 잊는 것.
• x̄ − μ₀를 거꾸로 써서 z의 부호를 뒤집기.
• 작은 표본에서 표본 s만 아는데 z를 쓰기.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: z 통계량. σ를 알며 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)을 계산합니다.
• 보통: t 통계량. 표본 표준편차 s만 주어지며 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)을 계산합니다.
• 어려움: 신뢰구간. 95% 또는 99%에서 x̄ ± z · σ/√n의 하한 또는 상한을 구합니다.

간단한 확인: x̄가 μ₀보다 작으면 검정 통계량은 음수여야 합니다.