그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 도함수 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 거듭제곱 법칙, 연쇄 법칙과 곱의 법칙, 접선과 극값.
f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9이라 합시다. x = −2에서 그래프의 기울기, 즉 f′(−2)를 구하세요.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
먼저 알아 둘 것: 극한
도함수는 무언가가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 자동차의 위치가 한 시간에 50 km씩 변하면 속력은 50 km/h입니다. 위치의 변화율입니다.
그래프에서 한 점의 도함수는 그 점에서 곡선의 기울기입니다. 아주 가까이 확대했을 때 곡선이 얼마나 가파르게 오르거나 내리는지를 나타냅니다.
그 기울기는 그 점에서 곡선에 막 닿는 직선인 접선의 기울기입니다.
y = x²에서 x = 1에서의 접선의 기울기는 2입니다. 이것을 f′(1) = 2로 쓰고 “f 프라임 1”이라고 읽습니다.
답: 음수. 도함수는 기울기입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 그래프는 기울기가 음수입니다.
매번 극한을 쓸 필요는 없습니다. 몇 가지 규칙이면 대부분의 함수를 다룰 수 있습니다.
이것이 거듭제곱 법칙입니다. 지수를 앞으로 내리고 지수를 1 줄입니다. 그래서 (x³)′ = 3x², (x)′ = 1입니다.
이것들도 외워 두세요: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.
답: 12x² − 2. 각 항에 거듭제곱 법칙을 쓰면 (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2이고 상수 7은 0이 됩니다.
다른 함수로 이루어진 함수는 두 가지 규칙을 더 써서 다룹니다.
곱의 법칙, 두 함수가 곱해져 있을 때:
연쇄 법칙, 함수 안에 함수가 있을 때: 바깥 함수의 도함수를 구하고, 안쪽은 그대로 두고, 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다.
몫의 법칙은 이 두 가지에서 나옵니다: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².
답: 6(2x + 5)². 바깥: 3(2x + 5)². 안쪽: (2x + 5)′ = 2. 곱하면 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². 안쪽의 2를 빠뜨리는 것이 대표적인 실수입니다.
그래프의 꼭대기나 바닥(극값)을 찾으려면 f′(x) = 0을 푸세요. 이계도함수로 어느 쪽인지 알 수 있습니다: f″ < 0이면 극댓값, f″ > 0이면 극솟값입니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1이라 하자. x = 0에서의 기울기와 극댓값, 극솟값을 구하시오.
모든 항에 거듭제곱 법칙을 쓰세요. 상수 1은 사라집니다.
따라서 x = 0에서의 접선은 오른쪽으로 1 갈 때마다 9만큼 올라갑니다.
f″(1) = −6은 음수이므로 x = 1은 극대입니다. f″(3) = 6은 양수이므로 x = 3은 극소입니다.
그래프가 이를 확인해 줍니다. 두 점에서 모두 평평하고, (1, 5)는 꼭대기, (3, 1)은 바닥입니다.
f′(0) = 9. 극댓값은 (1, 5), 극솟값은 (3, 1)입니다.
답: 1/(2√x). √x = x1/2이므로 도함수는 ½x−1/2 = 1/(2√x)입니다. 먼저 제곱근을 거듭제곱으로 바꾸면 쉽습니다.
기울기 문제의 빠른 점검: 머릿속으로 그래프를 그려 보세요. 그 점에서 올라가고 있다면 답은 양수여야 합니다.
f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7이라 합시다. x = 1에서 그래프의 기울기, 즉 f′(1)를 구하세요.
구하는 값: f′(1)
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
f(x) = x3·e−x이라 합시다. f′(1)를 구하세요.
구하는 값: f′(1)
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6이라 합시다. 극솟점의 x좌표 x를 구하세요.
구하는 값: x
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
f″(x) = 6x − 27: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.
도함수는 무언가가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 자동차의 위치가 한 시간에 50 km씩 변하면 속력은 50 km/h입니다. 위치의 변화율입니다.
그래프에서 한 점의 도함수는 그 점에서 곡선의 기울기입니다. 아주 가까이 확대했을 때 곡선이 얼마나 가파르게 오르거나 내리는지를 나타냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.