단계별 도함수 계산기
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결과
x의 함수를 미분하고 각 법칙이 어떻게 적용되는지 확인합니다. 계산기는 다항식, 거듭제곱과 근, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수를 다루며, 합, 곱, 몫, 연쇄 법칙으로 이들을 결합하고 진행하면서 결과를 간단히 합니다. 이계도함수와 삼계도함수를 구하고, 한 점에서 도함수와 접선을 계산할 수도 있습니다.
단계별 풀이
함수 읽기
합의 법칙: 항별로 미분하기
곱의 법칙
연쇄 법칙
몫의 미분법
연쇄 법칙
사용한 미분 규칙
결과
그 점에서 계산하세요
핵심 공식
- 거듭제곱 미분법
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 곱의 법칙
- (uv)′ = u′v + uv′
- 몫의 미분법
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 연쇄 법칙
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 주요 도함수
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
도함수를 단계별로 구하는 방법
- 합은 항으로 나누어 각각 따로 미분합니다(합의 법칙). 상수 인수는 앞에 그대로 둡니다(상수배 법칙).
- 거듭제곱에는 멱 법칙 d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹을 씁니다. 근과 역수에도 적용됩니다: √x = x^(1/2), 1/x² = x⁻².
- 곱 u·v에는 곱의 법칙 (uv)′ = u′v + uv′을, 몫 u/v에는 몫의 법칙 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²을 씁니다.
- sin(3x)나 e^(x²)처럼 함수 안에 다른 함수가 있으면 연쇄 법칙을 씁니다. 바깥 함수를 미분하고 안쪽은 그대로 둔 채, 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다.
- 간단히 합니다: 동류항을 모으고 분자와 분모의 공통 인수를 약분합니다.
질문과 답변
함수는 어떻게 입력하나요?
거듭제곱에는 ^를, 함수의 인수에는 괄호를 사용하세요: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). 곱셈 기호는 생략할 수 있습니다. 3x^2 sin(x)는 3x²·sin(x)를 뜻합니다. e^(2x)는 괄호와 함께 쓰세요. e^2x는 e²·x로 해석됩니다.
어떤 함수를 지원하나요?
sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log(상용로그), sqrt를 지원하며, +, −, ·, / 및 거듭제곱의 어떤 조합도 가능합니다. 밑과 지수에 모두 x가 있는 x^x 같은 거듭제곱도 포함됩니다.
ln과 log는 어떻게 다른가요?
ln은 e를 밑으로 하는 자연로그이며 d/dx[ln x] = 1/x입니다. 이 계산기에서 log는 상용로그(밑 10)를 뜻하고, 그 도함수는 1/(x·ln 10)입니다.
계산기는 접선을 어떻게 구하나요?
점 x₀를 입력합니다. 접선은 y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)이며, 곡선 위의 그 점을 지나고 도함수를 기울기로 가집니다.
답은 항상 가장 간단한 형태인가요?
결과는 동류항 정리, 거듭제곱 합치기, 공통 인수 약분으로 간단해지지만, 교과서와 다르게 쓰일 수 있습니다. 예를 들어 cot(x) 대신 cos(x)/sin(x)로 나타납니다. 두 형태는 서로 같습니다.
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