정규분포 계산기
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결과
임의의 정규분포 N(μ, σ²)의 확률을 구하세요. 한 값의 왼쪽이나 오른쪽 넓이, 두 값 사이, 양쪽 꼬리의 넓이를 구할 수 있습니다. 역함수 모드는 넓이에서 거꾸로 값 x를 구하며, 백분위수와 기준 점수를 찾을 때 쓰입니다. 모든 답에 사용한 z점수와 Φ 값이 나오므로 표준정규분포표와 대조해 확인할 수 있습니다.
단계별 풀이
표준화하기
표준정규곡선 아래의 넓이
핵심 공식
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
정규분포 확률을 구하는 방법
- 평균 μ와 표준편차 σ를 적으세요. 분산 σ²이 주어지면 먼저 제곱근을 취하세요.
- 각 값을 z = (x − μ)/σ로 표준화하세요. z점수는 그 값이 평균보다 표준편차 몇 개만큼 위 또는 아래에 있는지 알려 줍니다.
- 표나 계산기로 Φ(z), 즉 표준정규곡선에서 z의 왼쪽 넓이를 찾으세요.
- 넓이를 조합하세요: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z), P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- 넓이에서 거꾸로 구하려면 Φ(z)가 왼쪽 꼬리 넓이와 같아지는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ로 되돌리세요.
질문과 답변
P(X < a)와 P(X ≤ a)는 어떻게 다른가요?
정규분포 같은 연속분포에서는 차이가 없습니다. 정확히 한 값의 확률은 0이므로 P(X < a) = P(X ≤ a)입니다. 이항분포나 푸아송 분포 같은 이산분포에서는 다릅니다.
정규분포의 백분위수는 어떻게 구하나요?
왼쪽 꼬리 넓이로 역함수 모드를 사용하세요. 90번째 백분위수는 P(X < x) = 0.90인 값 x입니다: z = Φ⁻¹(0.90) = 1.2816이므로 x = μ + 1.2816σ입니다. 상위 10% 기준점은 오른쪽 꼬리 넓이 0.10을 쓰면 같은 값이 나옵니다.
68–95–99.7 법칙은 무엇인가요?
정규분포의 약 68%가 평균에서 표준편차 1개 이내에, 약 95%가 2개 이내(정확히는 1.96σ)에, 약 99.7%가 3개 이내에 있습니다. 답이 올바른 범위에 있는지 빠르게 확인하는 방법입니다.
z표로 구한 답이 왜 조금 다른가요?
인쇄된 표는 z를 소수 둘째 자리까지, Φ(z)를 소수 넷째 자리까지 반올림합니다. 이 계산기는 Φ를 수치적으로 계산하므로 꼬리 먼 쪽에서도 인쇄된 z표보다 훨씬 정확하며, 결과를 유효숫자 4자리로 보여 줍니다. 그래서 표로 구한 답은 마지막 자리가 다를 수 있습니다.
이항 문제에 정규분포를 언제 쓸 수 있나요?
np와 n(1 − p)가 모두 약 10 이상이면 이항분포는 μ = np, σ = √(np(1 − p))인 정규분포에 가깝습니다. 경계에서 0.5를 더하거나 빼세요(연속성 보정). 정확한 답은 이항분포 계산기를 사용하세요.
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계산기는 답을 알려 줍니다. 시험에서는 푸는 방법이 필요합니다. 새 문제, 힌트, 자세한 풀이로 연습하세요.