정규분포: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1종 모양 곡선

키, IQ 점수, 기계가 채운 포장 무게 같은 많은 양이 정규분포를 따릅니다. 대부분의 값은 가운데 근처에 있고 멀리 떨어진 값은 드뭅니다.

그래프는 좌우 대칭인 종 모양입니다. 두 개의 수가 있습니다: 꼭대기가 있는 평균 μ, 그리고 폭을 정하는 표준편차 σ.

핵심 아이디어: 확률은 곡선 아래의 넓이입니다. 전체 넓이는 1입니다. 색칠한 왼쪽 절반의 넓이는 0.5이므로 모든 값의 절반이 평균 아래에 있습니다.

값의 약 68%는 평균에서 1σ 이내에, 약 95%는 2σ 이내에 있습니다.

2z점수와 표

값 x를 z점수로 바꾸면 모든 정규분포는 같은 표준 정규 곡선(평균 0, σ = 1)이 됩니다:

표는 Φ(z), 즉 z의 왼쪽 넓이를 줍니다. 예를 들어 Φ(1.2) = 0.8849이므로 값의 88.49%가 z = 1.2 아래에 있습니다.

• x 아래: P(X < x) = Φ(z).
• x 위: P(X > x) = 1 − Φ(z). 전체 넓이가 1이기 때문입니다.
• 음수 z에서는: 대칭에 의해 Φ(−z) = 1 − Φ(z)입니다. 따라서 Φ(−1.2) = 0.1151.

자주 만나게 될 값: Φ(1) = 0.8413, Φ(1.5) = 0.9332, Φ(2) = 0.9772.

3두 값 사이와 백분위수

두 값 사이의 넓이는 두 왼쪽 넓이를 뺍니다: 위쪽 값 아래 전체에서 아래쪽 값 아래 전체를 뺍니다.

백분위수는 거꾸로 작동합니다. 90번째 백분위수는 왼쪽 넓이가 90%인 값입니다.

• Φ(z)가 그 넓이와 같은 z를 찾으세요. 90%에서는 z = 1.2816, 80%에서는 z = 0.8416입니다.
• x로 되돌리세요: x = μ + z · σ.

50% 미만의 백분위수에서는 z가 음수입니다. 10번째 백분위수는 z = −1.2816입니다.

4단계별 방법

1. 종 모양 곡선을 스케치하고 μ와 값을 표시하고 묻는 넓이를 칠하세요.
2. 각 값을 z점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
3. 왼쪽 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
4. 아래: Φ(z). 위: 1 − Φ(z). 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁).
5. 백분위수는 거꾸로 가세요: 넓이 → z → x = μ + zσ.
6. 스케치와 비교하세요: 절반보다 작게 칠한 넓이는 0.5보다 작은 수를 줘야 합니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 틀린 꼬리를 읽기: x 위의 넓이를 묻는데 Φ(z)를 쓰기.
• z점수에서 σ로 나누는 것을 잊기.
• 구간에서 두 왼쪽 넓이를 빼지 않고 더하기.
• 50% 미만의 백분위수에서 z의 부호를 잘못 쓰기.
• σ와 분산 σ²을 혼동하기. 표준편차 σ로 나누세요.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 한쪽 꼬리의 넓이. z점수 하나로 P(X < x) 또는 P(X > x)를 구합니다.
• 보통: 예제처럼 두 값 사이의 넓이 Φ(z₂) − Φ(z₁).
• 어려움: 백분위수. 자료의 80% 또는 90%가 그 아래에 놓이는 값을 구합니다.

항상 먼저 스케치하세요. 10초의 스케치가 대부분의 꼬리 실수를 막아 줍니다.