그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 신뢰구간 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: z 구간, t 구간, 표본 크기.
무작위로 선택한 유권자 100명을 대상으로 한 여론 조사에서 55명이 한 제안을 지지한다. 지지자 비율에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
먼저 알아 둘 것: 정규분포
전체 모집단의 평균 μ를 알고 싶다고 합시다. 예를 들어 한 공장이 만드는 모든 배터리의 평균 수명입니다. 전부 시험할 수 없으므로 배터리 n개의 표본을 시험합니다.
표본 평균 x̄는 μ에 대한 가장 좋은 추측이지만, 다른 표본은 조금 다른 x̄를 줍니다. 숫자 하나는 그 불확실성을 감춥니다.
신뢰구간은 대신 범위를 줍니다: x̄에서 오차 한계를 뺀 값부터 x̄에 오차 한계를 더한 값까지.
95% 신뢰구간은 모든 표본의 95%에서 참된 μ를 포함하게 되는 방법으로 만듭니다. 신뢰 수준이 높을수록 구간이 넓어집니다.
답: 99% 구간. 구간이 μ를 포함한다고 더 확신하려면 구간이 더 넓어야 합니다. 99%의 임계값 2.576이 90%의 값 1.645보다 큽니다.
모집단 표준편차 σ를 알 때 구간은 다음과 같습니다:
σ/√n은 표준오차로, 표본마다 x̄가 얼마나 달라지는지를 나타냅니다. 표본이 클수록 표준오차가 작아집니다.
임계값 z는 신뢰 수준에 따라 달라집니다. 이 세 가지를 외우세요:
오차 한계는 E = z · σ/√n입니다. 구간은 x̄ − E(하한)에서 x̄ + E(상한)까지입니다.
답: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94이므로 상한은 57.94입니다. √n을 빠뜨리면 78.52이고, 57.47은 90%의 값 1.645를 쓴 것입니다.
보통 σ는 알려져 있지 않습니다. 그러면 표본 표준편차 s를 쓰고, 임계값은 t 분포에서 구합니다:
자유도 df는 n − 1입니다. t 값은 z보다 크므로 구간이 더 넓으며, s에 들어 있는 추가적인 불확실성을 반영합니다. n이 크면 t는 z에 가까워집니다.
95%에서: df = 9일 때 t = 2.262, df = 15일 때 t = 2.131, df = 29일 때 t = 2.045.
때로는 표본 크기를 계획해야 합니다: 오차 한계를 E 이하로 하려면 n이 얼마나 커야 할까요? E = zσ/√n을 n에 대해 풉니다:
항상 다음 정수로 올림하세요. 내림하면 오차 한계가 E보다 약간 커집니다.
답: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3이고 올림하면 163입니다. 162로 내리면 오차 한계가 2를 조금 넘고, 13은 제곱을 잊은 값입니다.
표본 크기 문제에서는: n = (zσ/E)²이고 올림합니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
항목 16개의 표본 평균이 40이고 표준편차 s = 6입니다. 모집단은 대략 정규분포입니다. 평균의 95% 신뢰구간을 구하시오.
알려진 것은 표본 표준편차 s뿐이고 σ는 모릅니다. 따라서 df = n − 1 = 15인 t를 씁니다.
z = 1.96이면 오차 한계는 2.94가 됩니다. t 구간은 조금 더 넓은데, σ를 모를 때는 그래야 합니다.
95% 신뢰구간은 [36.80, 43.20]입니다.
답: t = 2.262 (df = 9). σ를 모르므로 df = n − 1 = 9인 t를 씁니다. z를 쓰면 s의 불확실성을 무시하게 되고, df = 10은 1을 빼는 것을 잊은 값입니다.
간단한 확인: 표본 평균은 항상 구간의 정확히 가운데에 있습니다.
측정값 200개의 표본 평균은 174.5입니다. 모표준편차는 30(으)로 알려져 있습니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.
구하는 값: 상한
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
관측값 50개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 7.8이다. 같은 연구에서 관측값을 100개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
구하는 값: E₂
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 1.2 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.
구하는 값: σ (µm)
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
σ의 95% 구간: [0.9181, 1.733] µm.
전체 모집단의 평균 μ를 알고 싶다고 합시다. 예를 들어 한 공장이 만드는 모든 배터리의 평균 수명입니다. 전부 시험할 수 없으므로 배터리 n개의 표본을 시험합니다.
표본 평균 x̄는 μ에 대한 가장 좋은 추측이지만, 다른 표본은 조금 다른 x̄를 줍니다. 숫자 하나는 그 불확실성을 감춥니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.