극한: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 극한 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 직접 대입과 인수분해, 무한대에서의 극한, 로피탈 정리.

무료 연습 문제쉬움
xy9x = 9

극한 L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9)을(를) 구하세요.

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
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극한 무료로 연습하기지금 극한 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움직접 대입과 인수분해
  2. 보통무한대에서의 극한
  3. 어려움로피탈 정리

핵심 공식

직접 대입
먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한
x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
로피탈 정리
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

극한 처음부터 배우기

1극한이란 무엇인가

극한은 x가 어떤 수에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 나타냅니다. 정확히 그 수에서 무슨 일이 일어나는지는 중요하지 않습니다.

f(x) = (x² − 1)/(x − 1)을 봅시다. x = 1에서는 0/0이 되어 값이 없습니다. 하지만 1에 가까운 수를 시도해 볼 수 있습니다.

  • x = 0.9이면 f = 1.9.
  • x = 0.99이면 f = 1.99.
  • x = 1.01이면 f = 2.01.

값은 점점 2에 가까워집니다. 다음과 같이 씁니다.

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

그래프는 점 하나가 빠진 직선, 즉 (1, 2)에 구멍이 있는 직선입니다. 극한은 그 구멍의 높이입니다.

자가 점검 함수 g에서 g(2.9) = 5.9, g(2.99) = 5.99, g(3.01) = 6.01이다. x = 3에서는 정의되지 않는다. x → 3일 때 극한은 무엇인가?
  1. 3
  2. 5.99
  3. 6
  4. 존재하지 않는다. g(3)이 정의되지 않았기 때문이다

답: 6. 값이 양쪽에서 6에 접근하므로 극한은 6입니다. 극한은 x = 3 근처의 값만 보고 x = 3 자체는 보지 않습니다.

2대입, 0/0, 인수분해

항상 먼저 직접 대입을 시도하세요. 그 수를 넣어 보세요. 보통의 수가 나오면 그것이 극한입니다.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

0/0이 나오면 끝난 것이 아닙니다. 0/0은 부정형이라고 하며, 답이 아니라 식을 간단히 하라는 신호입니다.

보통 분자와 분모는 그 점에서 0이 되는 인수를 공유합니다. 둘을 인수분해하고, 공통 인수를 약분한 뒤, 다시 대입하세요.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

그러므로 x → 3일 때의 극한은 3 + 3 = 6입니다. 유용한 인수분해 패턴:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • x² − x − 30 같은 이차식은 (x − 6)(x + 5)로 인수분해됩니다: 곱이 −30이고 합이 −1인 두 수를 찾으세요.

제곱근이 있으면 분자와 분모에 켤레를 곱하세요: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

자가 점검 limx→2 (x² − 4)/(x − 2)는 무엇인가?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. 존재하지 않는다. 0/0이 나오기 때문이다

답: 4. 대입하면 0/0이므로 인수분해하세요: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2이고, x = 2에서 4입니다. 0/0에서 멈추는 것이 “존재하지 않는다”라는 오답의 원인입니다.

3무한대에서의 극한과 로피탈의 정리

x → ∞는 x가 끝없이 커진다는 뜻입니다. 다항식의 분수에서는 x가 아주 클 때 최고차항만 중요합니다.

분모의 x의 최고차항으로 모든 항을 나누세요. 4/x나 7/x² 같은 항은 0으로 갑니다.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • 분자와 분모의 최고 차수가 같으면: 극한은 최고차항 계수의 비입니다.
  • 분모의 차수가 더 높으면: 극한은 0입니다.
  • 분자의 차수가 더 높으면: 분수는 끝없이 커지므로 유한한 극한이 없습니다.

√(x² + 6x) − x에서는 켤레를 곱하세요. 6x/(√(x² + 6x) + x)가 되며, 이는 6/(1 + 1) = 3으로 갑니다.

로피탈의 정리: 대입하여 0/0이나 ∞/∞가 나오면 분자와 분모를 각각 따로 미분한 것으로 바꿀 수 있습니다.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

다시 0/0이 나오면 정리를 한 번 더 적용하세요. 삼각함수 극한에서는 항상 x를 라디안으로 씁니다.

자가 점검 limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)는 무엇인가?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

답: 2. 최고차항이 같으므로(x²) 극한은 최고차항 계수의 비 4/2 = 2입니다. ½은 거꾸로 나눈 값입니다.

4단계별 방법

  1. 그 수를 대입하세요. 보통의 수가 나오면 그것이 답입니다.
  2. 0/0이 나오면 분자와 분모를 인수분해하거나, 제곱근이 있으면 켤레를 곱하세요.
  3. 공통 인수를 약분하고 다시 대입하세요.
  4. x → ∞이면 모든 항을 x의 최고차항으로 나누고 a/x 같은 항을 0으로 보내세요.
  5. 인수분해가 안 되면(eˣ, sin, cos, ln) 0/0이나 ∞/∞ 꼴에 로피탈의 정리를 쓰세요.
  6. 그 점에 아주 가까운 수로 확인하세요. 예를 들어 x = 1.001.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2)를 구하시오.

1

대입해 보기

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

이것은 부정형 0/0이므로 먼저 간단히 해야 합니다.

2

분자 인수분해하기

8 = 2³이므로 분자는 a = 2인 세제곱의 합입니다.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

공통 인수 약분하기

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

x는 −2에 가까워질 뿐이므로 x + 2는 정확히 0이 아니어서 약분할 수 있습니다.

4

다시 대입하기

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

답 검산

x = −1.99를 시도하세요: (−7.880599 + 8)/0.01 = 11.94로 12에 가깝습니다.

xy−212

그래프는 (−2, 12)에 구멍이 있는 포물선 x² − 2x + 4입니다.

답

L = 12

6흔한 실수

  • 0/0을 답으로 쓰거나 극한이 존재하지 않는다고 말하는 것. 0/0은 먼저 간단히 하라는 뜻입니다.
  • 대입해도 0/0이나 ∞/∞가 나오지 않는데 로피탈의 정리를 쓰는 것.
  • 로피탈의 정리에서 몫의 미분법을 쓰는 것. 분자와 분모를 따로 미분하세요.
  • 무한대에서 최고차항이 아니라 쓰여 있는 첫 번째 항을 비교하는 것.
  • sin이나 cos이 있는 극한에서 라디안 대신 도를 쓰는 것.
자가 점검 limx→1 (x² + 1)/(x + 1)은 무엇인가?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 존재하지 않는다

답: 1. 대입하면 2/2 = 1이라는 보통의 수가 나오므로 그것이 극한입니다. 여기서 로피탈의 정리를 쓰면(2x/1 = 2) 틀립니다. 꼴이 0/0이 아니었기 때문입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 직접 대입과 인수분해. 대입하면 0/0이 나오고, 예제처럼 인수분해하여 약분합니다.
  • 보통: 무한대에서의 극한. 최고차항으로 나누거나, √(x² + 4x) − x 같은 제곱근에는 켤레를 씁니다.
  • 어려움: 로피탈의 정리. 예를 들어 x → 0일 때 (eˣ − 1 − x)/x² 또는 (1 − cos 3x)/x². 정리를 두 번 써야 할 수도 있습니다.

빠른 점검: 계산기로 그 점에 아주 가까운 수를 넣어 보세요. 결과가 답에 가까워야 합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
xyx = 1

극한 L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1)을(를) 구하세요.

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

구하는 값: L

힌트 보기
  1. 대입하면 0/0입니다. 분자를 인수분해하세요.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
정답과 단계별 풀이 보기

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

직접 대입해 보기

분자 → 0, 분모 → 0이므로 0/0 꼴입니다.

인수분해 후 약분

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

대입하기

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

답

L = 4

이것은 x = a에서 xⁿ의 미분계수 n·aⁿ⁻¹입니다.

예제 2보통
xyy = L

극한 L = limx→∞ (1 + 1/x)x을(를) 구하세요. 소수로 답하세요.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

구하는 값: L

힌트 보기
  1. 1^∞ 꼴입니다. L = e^(ln L)로 쓰고 ln L을 구하세요.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. u가 작으면 ln(1 + u) ≈ u입니다. 여기서 u = 1/x.
정답과 단계별 풀이 보기

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

로그 취하기

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

계산하기

u → 0일 때 ln(1 + u)/u → 1이므로 x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

로그 되돌리기

L = e1 = 2.718

답

L = 2.718
예제 3어려움
xyx = 0

극한 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)을(를) 구하세요. x의 단위는 라디안입니다.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

구하는 값: L

힌트 보기
  1. x = 0에서 ln 1 = 0, sin 0 = 0이므로 0/0 꼴입니다.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. f′/g′에 x = 0을 대입하세요.
정답과 단계별 풀이 보기

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

로피탈 정리

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

x = 0 대입

L = 2/3 = 0.6667

답

L = 0.6667

질문과 답변

극한: 무엇인가요?

극한은 x가 어떤 수에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 나타냅니다. 정확히 그 수에서 무슨 일이 일어나는지는 중요하지 않습니다.

값은 점점 2에 가까워집니다. 다음과 같이 씁니다.

극한 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

극한에서 자주 하는 실수는?
  • 둘째 인수의 항을 모두 남기세요: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)이며, x = a에서 n개의 항이 모두 같습니다.
  • 1^∞ 꼴은 1이 아니라 부정형입니다. 먼저 자연로그를 취하세요.
  • 분자의 도함수를 분자에 두세요: lim f/g = lim f′/g′.
극한 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 직접 대입과 인수분해
  • 보통: 무한대에서의 극한
  • 어려움: 로피탈 정리

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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