최적화: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 최적화 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 최대 넓이 또는 부피, 최소 비용 또는 재료, 이윤과 수입.

무료 연습 문제쉬움
강xxy

농부가 곧은 강을 따라 직사각형 밭을 둘러싸려고 울타리 240 m를 가지고 있습니다. 강을 따라서는 울타리가 필요 없습니다. 둘러쌀 수 있는 최대 넓이 A을(를) 구하세요.

240 m2x + y = 240
m²
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최적화 무료로 연습하기지금 최적화 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움최대 넓이 또는 부피
  2. 보통최소 비용 또는 재료
  3. 어려움이윤과 수입

핵심 공식

방법
Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

최적화 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 도함수

1최적화란 무엇인가

최적화는 최선의 값을 찾는 것입니다. 주어진 길이의 울타리로 만드는 가장 넓은 면적, 캔에 드는 가장 적은 금속, 가장 높은 이익.

가능한 한 크게 또는 작게 만들고 싶은 양은 하나의 변수에 달려 있습니다. 예를 들어 밭의 너비 x.

그 그래프를 그려 보세요. 언덕의 꼭대기와 골짜기의 바닥에서 그래프는 잠시 평평합니다. 그래서 거기서 기울기가 0입니다.

이것이 핵심 아이디어입니다. 최댓값이나 최솟값에서는 도함수가 0입니다. Q′(x) = 0을 풀어 최선의 x를 구합니다.

자가 점검 밭의 넓이 A(x)가 x = 12에서 가장 크다. A′(12)는 얼마인가?
  1. 0
  2. A(12)와 같다
  3. 양수
  4. 음수

답: 0. 그래프의 꼭대기에서 접선은 수평이므로 기울기는 0입니다. 양의 기울기는 넓이가 아직 늘고 있다는 뜻입니다.

2목표와 제약

모든 최적화 문제에는 두 부분이 있습니다. 계산하기 전에 이름을 붙이세요.

  • 목표: 최대화하거나 최소화할 양. 예를 들어 넓이 A나 비용 C.
  • 제약: 고정된 조건. 예를 들어 울타리의 총 길이나 캔이 담아야 하는 부피.

목표에는 보통 변수가 둘 있습니다. 예를 들어 A = x · y. 이것은 아직 미분할 수 없습니다.

제약을 써서 y를 x로 나타내세요. 그러면 목표가 x에만 달려 있게 됩니다.

예: 둘레가 20 m인 직사각형은 2x + 2y = 20이므로 y = 10 − x이고 A(x) = x(10 − x) = 10x − x²입니다.

먼저 그림을 그리고 모든 길이를 적으세요. 대부분의 실수는 제약에서 생깁니다.

자가 점검 강을 따라 있는 밭의 세 면을 40 m로 울타리 친다. 길이 x인 두 변과 강과 나란한 변 y 하나이다. 제약은 무엇인가?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

답: 2x + y = 40. 울타리는 x, x, y 세 개입니다. 강 쪽에는 울타리가 필요 없습니다. 2x + 2y는 네 변에 모두 울타리를 친 완전한 직사각형입니다.

3비용과 이익 문제

사업 문제에서 목표는 수익에서 비용을 뺀 이익입니다.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

여기서 q는 팔린 개수이고 p는 개당 가격입니다. 가격이 q에 달려 있으면 그 식을 먼저 R에 넣으세요.

예: 가격은 p = 60 − q이고 비용은 C = 100 + 30q입니다.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

그러면 최선의 가격은 p = 60 − 15 = 45유로입니다. 문제를 주의 깊게 읽으세요. q, p, 또는 이익 P 자체를 물을 수 있습니다.

자가 점검 제품이 개당 40유로에 팔린다. q개의 비용은 C = 100 + 10q + 0.5q² 유로이다. 어떤 생산량 q가 이익을 가장 크게 하는가?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

답: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0.5q²이므로 P′ = 30 − q = 0이고 q = 30입니다. 0.5q²을 미분할 때 2를 잊으면 60이 됩니다.

4단계별 방법

  1. 그림을 그리고 변수에 이름을 붙이세요.
  2. 목표 Q(넓이, 비용, 이익)와 제약을 쓰세요.
  3. 제약을 써서 Q를 하나의 변수의 함수 Q(x)로 나타내세요.
  4. 미분하고 Q′(x) = 0을 푸세요.
  5. 올바른 종류의 점인지 확인하세요: 최댓값이면 Q″ < 0, 최솟값이면 Q″ > 0.
  6. 물은 것에 답하세요: x, 다른 변, 또는 Q 자체의 최선 값을 단위와 함께.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

농부가 곧은 강을 따라 있는 직사각형 밭에 쓸 울타리를 60 m 가지고 있다. 강 쪽에는 울타리가 필요 없다. 강과 나란한 변 y와 가장 큰 넓이 A를 구하시오.

1

그림과 제약

xxyA

강이 위에 있으므로 세 변에만 울타리가 필요합니다: 두 변 x와 한 변 y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

변수 하나로 나타낸 넓이

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

도함수를 0으로 놓기

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

최댓값인가?

A″(x) = −4 < 0

이계도함수가 음수이므로 x = 15 m가 가장 큰 넓이를 줍니다.

xA(15, 450)1530
5

다른 변과 넓이

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

답 검산

양쪽에서 값을 시도해 보세요. x = 14이면 14 · 32 = 448 m², x = 16이면 16 · 28 = 448 m²입니다. 둘 다 450 m²보다 작습니다.

답

y = 30 m이고 가장 큰 넓이는 A = 450 m²입니다.

6흔한 실수

  • 잘못된 양에 대한 답을 주는 것: 문제는 y를 묻는데 x를 답하는 것.
  • 아직 변수가 둘인 목표를 미분하는 것. 먼저 제약을 쓰세요.
  • 잘못된 제약을 쓰는 것. 예를 들어 강 쪽에도 울타리를 치는 것.
  • 그 점이 최댓값인지 최솟값인지 확인하지 않는 것.
  • 단위를 잊거나 넓이를 m²가 아니라 m로 쓰는 것.
자가 점검 강을 따라 40 m의 울타리가 있을 때(2x + y = 40) 최선의 너비는 x = 10 m이다. 문제는 강과 나란한 변 y를 묻는다. 무엇이라고 답하는가?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

답: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. 10 m라고 답하면 y가 아니라 x이고, 200 m²는 변이 아니라 넓이입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 최대 넓이나 부피. 강을 따라 있는 밭이나 울타리를 하나 더 쳐서 나눈 우리.
  • 보통: 최소 비용이나 재료. 닫힌 캔(V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh)이나 미터당 가격이 둘인 울타리.
  • 어려움: 이익과 수익. P = R − C를 세우고 P′(q) = 0을 푼 다음 가격이나 최대 이익을 구합니다.

빠른 점검: 답보다 조금 위와 조금 아래의 값을 Q에 넣어 보세요. 둘 다 더 나빠야 합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
x18 cm18 cmx

18 cm × 18 cm인 정사각형 판지의 네 모퉁이에서 한 변이 x인 같은 정사각형을 잘라 내고 옆면을 접어 올려 뚜껑 없는 상자를 만듭니다. 가능한 최대 부피 V을(를) 구하세요.

18 cm × 18 cm

구하는 값: V (cm³)

힌트 보기
  1. 밑면은 (18 − 2x) × (18 − 2x)이고 높이는 x입니다.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. 0 < x < 9인 근만 의미가 있습니다.
정답과 단계별 풀이 보기

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

x의 함수로 나타낸 부피

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

도함수를 0으로 놓기

큰 근은 밑변이 ≤ 0이 되므로 허용 범위 밖입니다.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 또는 x = 9
x = 3 cm

부피

V = 3·12·12 = 432 cm³

답

V = 432 cm³
예제 2보통
rh

위아래가 막힌 원기둥 캔에 400 cm³가 들어가야 합니다. 쓰이는 금속의 양은 전체 겉넓이에 비례합니다. 가능한 최소 겉넓이 A을(를) 구하세요.

V = 400 cm³

구하는 값: A (cm²)

힌트 보기
  1. 부피로 h를 없애세요: πr²h = 400이므로 h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
정답과 단계별 풀이 보기

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

r의 함수로 나타낸 넓이

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

도함수를 0으로 놓기

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

높이와 넓이

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

답

A = 300.5 cm²

가장 경제적인 막힌 캔은 높이와 지름이 같습니다: h = 2r.

예제 3어려움
p (€)R(p)10현재

한 극장이 공연마다 표를 580장씩 장당 €10에 판매합니다. 시장 조사에 따르면 표 가격을 €1 올릴 때마다 판매량이 20장 줄고, €1 내릴 때마다 20장 늘어납니다. 공연당 최대 수입 R을(를) 구하세요.

580 × €1020 / €1

구하는 값: R (€)

힌트 보기
  1. 가격 p에서 팔리는 표: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
정답과 단계별 풀이 보기

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

가격의 함수로서의 매출

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

도함수를 0으로 놓기

R″(p) = −40 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

p = 780/40 = €19.5

최대 수입

n = 780 − 20·19.5 = 390
R = 19.5·390 = €7605

답

R = €7605

질문과 답변

최적화: 무엇인가요?

최적화는 최선의 값을 찾는 것입니다. 주어진 길이의 울타리로 만드는 가장 넓은 면적, 캔에 드는 가장 적은 금속, 가장 높은 이익.

가능한 한 크게 또는 작게 만들고 싶은 양은 하나의 변수에 달려 있습니다. 예를 들어 밭의 너비 x.

최적화 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

최적화에서 자주 하는 실수는?
  • 밑면의 각 변은 양 끝에서 정사각형만큼 줄어들므로 밑면의 변은 a − x와 b − x가 아니라 a − 2x와 b − 2x입니다.
  • 캔은 막혀 있으므로 윗면과 밑면을 모두 세세요: A = 2πr² + 2πrh.
  • 그것은 현재 가격에서의 수입입니다. 먼저 R′(p) = 0인 가격을 구하세요.
최적화 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 최대 넓이 또는 부피
  • 보통: 최소 비용 또는 재료
  • 어려움: 이윤과 수입

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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