선형 회귀와 상관: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 선형 회귀와 상관 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 기울기와 절편, 상관계수, 예측.

무료 연습 문제쉬움
xy242352445555660760xy2465060

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 절편 a을(를) 구하세요.

n = 6
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선형 회귀와 상관 무료로 연습하기지금 선형 회귀와 상관 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움기울기와 절편
  2. 보통상관계수
  3. 어려움예측

핵심 공식

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

선형 회귀와 상관 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 기술통계

1회귀란

각 사례마다 두 양을 측정합니다. 예를 들어 x = 공부한 시간, y = 시험 점수입니다. 각 쌍은 산점도의 한 점입니다.

xy123456246810

점들이 대략 직선을 따라 놓이면 직선으로 설명하고 그것으로 x에서 y를 예측할 수 있습니다. 이것이 선형 회귀입니다.

ŷ = a + b · x
  • ŷ(“와이 햇”)은 y의 예측값입니다.
  • b는 기울기입니다: x가 1 늘 때 ŷ가 얼마나 변하는지.
  • a는 절편입니다: x = 0일 때의 ŷ 값.
자가 점검 회귀선이 ŷ = 40 + 5x이고 x는 공부한 시간, ŷ는 예측 점수입니다. 5는 무엇을 뜻합니까?
  1. 공부하지 않는 학생은 5점을 받는다
  2. 점수는 시간의 5배이다
  3. 직선은 점 (5, 40)을 지난다
  4. 한 시간을 더 공부할 때마다 약 5점이 늘어난다

답: 한 시간을 더 공부할 때마다 약 5점이 늘어난다. 기울기 b는 x 한 단위당 ŷ의 변화입니다. x = 0에서의 예측 점수는 5가 아니라 절편 a = 40입니다.

2최소제곱선

모든 점을 지나는 직선은 없습니다. 한 점에서 직선까지의 수직 거리가 그 점의 잔차이며 e = y − ŷ입니다.

최소제곱선은 잔차 제곱의 합이 가장 작은 직선입니다. 기울기와 절편은 평균에서의 편차의 합으로부터 나옵니다:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

직선은 항상 평균점 (x̄, ȳ)를 지납니다. 그래서 a = ȳ − b · x̄입니다.

합만 주어지면 지름길 Sxx = Σx² − (Σx)²/n과 Sxy = Σxy − ΣxΣy/n을 쓰세요.

자가 점검 어떤 자료에서 x̄ = 4, ȳ = 10, b = 2입니다. 절편 a는 얼마입니까?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

답: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2입니다. 빼지 않고 더하면 18이 되고, 10은 ȳ 그 자체로 기울기를 잊은 값입니다.

3상관계수

피어슨 상관계수 r은 점들이 직선에 얼마나 가까이 놓이는지를 측정합니다. 항상 −1과 1 사이입니다.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r이 1에 가까움: 강한 상승 추세.
  • r이 −1에 가까움: 자동차 가격 대 자동차 연식 같은 강한 하강 추세.
  • r이 0에 가까움: 직선 관계가 없음.

r은 기울기 b와 같은 부호입니다. 그 제곱 r²은 직선이 설명하는 y의 변동 비율입니다.

강한 상관이 x가 y의 원인이라는 것을 증명하지는 않습니다. 둘 다 제3의 양에 달려 있을 수 있습니다.

자가 점검 자동차 연식 x와 가격 y에서 r = −0.95입니다. 이것은 무엇을 알려 줍니까?
  1. r이 음수이므로 계산이 틀렸다
  2. 강한 하강 직선 관계
  3. 약한 관계
  4. 오래된 자동차가 더 비싸다

답: 강한 하강 직선 관계. r이 −1에 가까우면 점들이 하강하는 직선 가까이에 놓인다는 뜻입니다: 연식이 오르면 가격이 떨어집니다. 음의 r은 전혀 문제없고, −1에서 1 밖의 값만 불가능합니다.

4단계별 방법

  1. 평균 x̄와 ȳ를 계산하세요.
  2. x − x̄, y − ȳ, 그 곱, (x − x̄)² 열이 있는 표를 만드세요. r을 물으면 (y − ȳ)²도 더하세요.
  3. 열들을 더해 Sxy, Sxx, Syy를 구하세요.
  4. 기울기 b = Sxy/Sxx이고, 이어서 절편 a = ȳ − b · x̄.
  5. 상관 r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. 예측: x를 ŷ = a + bx에 넣습니다. 잔차: e = y − ŷ.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

다섯 쌍을 측정했습니다: x = 1, 2, 3, 4, 5이고 y = 3, 5, 6, 8, 8입니다. 최소제곱선 ŷ = a + b·x를 구하고 x = 6에서 ŷ를 예측하시오.

1

평균

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

편차

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

합

쌍을 곱합니다: 6, 1, 0, 2, 4. x 편차를 제곱합니다: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

기울기와 절편

b = 13 / 10 = 1.3
a = 6 − 1.3 · 3 = 6 − 3.9 = 2.1
xy123456246810ŷ = 2.1 + 1.3x

점선은 잔차입니다. 작으므로 직선이 잘 맞습니다.

5

예측합니다

ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 2.1 + 7.8 = 9.9

확인: 직선은 평균점을 지납니다, 2.1 + 1.3 · 3 = 6 = ȳ.

답

ŷ = 2.1 + 1.3x이고 x = 6에서의 예측은 ŷ = 9.9입니다.

6흔한 실수

  • 잔차를 y − ŷ가 아니라 ŷ − y로 계산하기.
  • 기울기를 Sxx가 아니라 Syy로 나누기.
  • a와 b를 혼동하기: 기울기는 x에 곱해집니다.
  • r이 기울기와 같은 부호라는 것을 잊기.
  • 자료 범위를 크게 벗어난 곳을 예측하기. 거기서는 직선이 성립하지 않을 수 있습니다.
자가 점검 직선은 ŷ = 2.1 + 1.3x입니다. 새 점 (6, 8)을 측정합니다. 그 잔차는 얼마입니까?
  1. 1.9
  2. 17.9
  3. 9.9
  4. −1.9

답: −1.9. ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 9.9이므로 e = y − ŷ = 8 − 9.9 = −1.9입니다. 점은 직선 아래에 있습니다. 1.9는 ŷ − y를 계산한 것으로 부호가 반대입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 기울기와 절편. 표의 다섯 쌍으로 최소제곱선의 b 또는 a를 구합니다.
  • 보통: 자료 또는 주어진 합으로부터 상관계수 r.
  • 어려움: 예측. 직선으로 새 x에 대한 ŷ를 예측하거나, 새 관측값의 잔차를 구합니다.

간단한 확인: b와 r의 부호는 산점도의 방향과 일치해야 합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
xy2441262082210301235xy510102030

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 절편 a을(를) 구하세요.

n = 6

구하는 값: a

힌트 보기
  1. 먼저 기울기 b = Sxy/Sxx를 구하세요.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20.5.
  3. 직선은 (x̄, ȳ)를 지나므로 a = ȳ − b·x̄.
정답과 단계별 풀이 보기

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20.5

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

기울기

b = 211/70 = 3.014

절편

a = 20.5 − 3.014·7 = −0.6

답

a = −0.6
예제 2보통
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

구하는 값: r

힌트 보기
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
정답과 단계별 풀이 보기

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

상관계수

r = 403/√(70·2443) = 0.9746

답

r = 0.9746
예제 3어려움
xy123221318412513xy241520x = 1.5

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 1.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 1.5

구하는 값: ŷ

힌트 보기
  1. 먼저 최소제곱 직선을 구하세요: b = Sxy/Sxx, a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17.4.
  3. ŷ = a + b·1.5.
정답과 단계별 풀이 보기

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

회귀직선

b = −29/10 = −2.9
a = 17.4 − (−2.9)·3 = 26.1
ŷ = 26.1 − 2.9·x

예측

ŷ = 26.1 + (−2.9)·1.5 = 21.75

답

ŷ = 21.75

질문과 답변

선형 회귀와 상관: 무엇인가요?

각 사례마다 두 양을 측정합니다. 예를 들어 x = 공부한 시간, y = 시험 점수입니다. 각 쌍은 산점도의 한 점입니다.

점들이 대략 직선을 따라 놓이면 직선으로 설명하고 그것으로 x에서 y를 예측할 수 있습니다. 이것이 선형 회귀입니다.

선형 회귀와 상관 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

선형 회귀와 상관에서 자주 하는 실수는?
  • 절편은 a = ȳ − b·x̄입니다. 직선은 (x̄, ȳ)를 지납니다.
  • ȳ는 x = 0이 아니라 x = x̄에서의 직선 높이입니다. a = ȳ − b·x̄를 쓰세요.
  • 공분산과 두 표준편차에 같은 제수(n 또는 n − 1)를 쓰세요. Sxy, Sxx, Syy를 쓰면 제수는 약분됩니다.
선형 회귀와 상관 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 기울기와 절편
  • 보통: 상관계수
  • 어려움: 예측

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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