미분방정식: 연습 문제와 시험 문제

일계 미분방정식과 그 응용: 성장과 감쇠, 뉴턴의 냉각 법칙, 혼합 문제, 적분 인자를 쓰는 선형 방정식, 그리고 공식으로 풀 수 없는 방정식을 위한 오일러법과 호인법.

이 강의 무료로 연습하기 이 강의 연습하기 모의고사 보기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

벼락치기 팩 (PDF)인쇄하기 좋은 공식 모음, 풀이 단계 요약, 전체 풀이가 있는 연습 문제.

이 강의의 주제

미분방정식 시험 팁

먼저 유형을 파악하세요: 변수 분리형, 선형, 또는 성장이나 냉각 같은 표준 모델.
상수는 마지막에 초기 조건으로 구하세요.
답을 원래 방정식에 다시 대입해서 검산하세요.

예제 풀이

미분방정식쉬움

방정식 y″ + 4y′ + 3y = 0에서 특성방정식의 근 중 0에 가장 가까운 근 r을(를) 구하시오. 이 근이 해가 얼마나 느리게 사라지는지를 정합니다.

y″ + 4y′ + 3y = 0

구하는 값: r

힌트 보기

y = e^rt를 대입하세요.
r² + 4r + 3 = 0.
인수분해하거나 근의 공식을 쓰세요.

정답과 단계별 풀이 보기

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성방정식

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

근

r = −1, r = −3

0에 가장 가까운: r = −1

답

r = −1

일반해는 y = A·e^−1t + B·e^−3t입니다.

적분보통

I = ∫₀² x·cos x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀² x·cos x dx

구하는 값: I

힌트 보기

u = x, dv = cos x dx로 놓으세요.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

정답과 단계별 풀이 보기

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

원시함수

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

극한

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

답

I = 0.4024

연습 방법

“이 강의 연습하기”는 실제 시험처럼 모든 주제의 문제를 섞어서 냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
모의고사는 제한 시간이 있고 힌트가 없으며, 끝나면 점수와 함께 전체 풀이를 검토할 수 있습니다.

이 강의의 계산기

반감기 및 지수적 감소 계산기 단계별 도함수 계산기 적분 계산기(정적분과 부정적분)