공업수학 2: 연습 문제와 시험 문제

공학도를 위한 두 번째 수학 과목: 이계 미분방정식, 행렬과 벡터, 회전체의 부피를 포함한 적분법, 편도함수와 이중적분, 급수와 테일러 다항식, 라플라스 변환과 합성곱. 회로, 진동, 제어 과목의 바탕이 되는 도구들입니다.

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이 강의의 주제

공업수학 2 시험 팁

선형 상미분방정식은 먼저 특성방정식을 쓰세요. 그 근이 해의 형태를 결정합니다.
부분적분에서 u는 미분했을 때 더 간단해지는 인수로 고르세요.
변환을 직접 적분하지 말고 라플라스 변환표와 부분분수를 사용하세요.

예제 풀이

미분방정식쉬움

방정식 y″ + 4y′ + 3y = 0에서 특성방정식의 근 중 0에 가장 가까운 근 r을(를) 구하시오. 이 근이 해가 얼마나 느리게 사라지는지를 정합니다.

y″ + 4y′ + 3y = 0

구하는 값: r

힌트 보기

y = e^rt를 대입하세요.
r² + 4r + 3 = 0.
인수분해하거나 근의 공식을 쓰세요.

정답과 단계별 풀이 보기

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성방정식

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

근

r = −1, r = −3

0에 가장 가까운: r = −1

답

r = −1

일반해는 y = A·e^−1t + B·e^−3t입니다.

행렬과 행렬식보통

주어진 3×3 행렬 A의 행렬식 det A를 구하세요.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

구하는 값: det A

힌트 보기

첫째 행을 따라 부호 + − +로 전개합니다.
각 항은 성분에, 그 행과 열을 지웠을 때 남는 2×2 행렬식을 곱한 것입니다.
소행렬식: 0, −30, −10.

정답과 단계별 풀이 보기

행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.

첫째 행의 2×2 소행렬식

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

여인수 전개

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

답

det A = 120

연습 방법

“이 강의 연습하기”는 실제 시험처럼 모든 주제의 문제를 섞어서 냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
모의고사는 제한 시간이 있고 힌트가 없으며, 끝나면 점수와 함께 전체 풀이를 검토할 수 있습니다.

이 강의의 계산기

역 라플라스 변환 계산기(부분분수)라플라스 변환 계산기 행렬식 및 역행렬 계산기 고유값과 고유벡터 계산기 반감기 및 지수적 감소 계산기 연립일차방정식 풀이기(2×2, 3×3)적분 계산기(정적분과 부정적분)