신호 및 시스템: 연습 문제와 시험 문제

연속 및 이산 신호가 선형 시불변 시스템을 통과하는 과정을 다룹니다. 합성곱, 임펄스 응답과 계단 응답, 라플라스 변환, 주파수 응답, 푸리에 급수입니다. 시험은 그래프 스케치와 짧은 계산이 섞여 나옵니다.

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이 강의의 주제

신호 및 시스템 시험 팁

합성곱을 하기 전에 신호를 스케치하세요. 겹치는 부분이 합이나 적분의 한계를 알려 줍니다.
LTI 시스템의 출력은 시작 시각의 합에서 시작해 끝 시각의 합에서 끝납니다.
정현파는 같은 주파수로 나오며 |H(jω)|만큼 크기가 바뀌고 ∠H(jω)만큼 위상이 이동합니다.

예제 풀이

합성곱과 LTI 시스템쉬움

수열 x[n] = {4, −3, −2}과 h[n] = {3, 1}은 모두 n = 0에서 시작합니다. 합성곱 y[n] = x[n] ∗ h[n]의 샘플 y[1]을(를) 구하시오.

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

구하는 값: y[1]

힌트 보기

y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
n = 1일 때 항은 k = 0, 1입니다.
x[0]·h[1] + x[1]·h[0].

정답과 단계별 풀이 보기

이산 합성곱: 선형 시불변 시스템의 출력은 y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]입니다. h를 뒤집고 n만큼 이동한 다음 x와 샘플별로 곱해 더합니다. x가 n_x에서 시작하는 L_x개의 샘플을, h가 n_h에서 시작하는 L_h개의 샘플을 가지면, y는 n_x + n_h에서 시작하는 L_x + L_h − 1개의 샘플을 가집니다. y의 모든 샘플의 합은 (Σx)·(Σh)와 같습니다. FIR 필터 y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + …는 h[n] = b_n과의 합성곱입니다.

합의 항들

x[k]와 h[n − k]가 모두 존재하는 k만 기여합니다.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4

x[1]·h[0] = −3·3 = −9

더하기

y[1] = −5

답

y[1] = −5

라플라스 변환보통

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)이다. 이것의 역변환은 f(t) = A·e^−6t + B·e^−8t 꼴이다. 부분분수 전개로 계수 A을(를) 구하시오.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

구하는 값: A

힌트 보기

분모를 인수분해하세요: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
가리기 규칙: A = [(s + 6)·F(s)] (s = −6에서).
s = −6에서: 분자 16, 다른 인수 2.

정답과 단계별 풀이 보기

라플라스 변환: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt는 미분을 s의 곱셈으로 바꿉니다: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). 기본 변환쌍: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²)이며, s → s + σ로 이동하면 시간 함수에 e^−σt가 곱해집니다. 유리 함수 F(s)를 역변환하려면 부분분수로 나눕니다. 단순 극점 p의 유수는 A = [(s − p)·F(s)] (s = p에서)입니다. 최종값 정리: f(∞) = lim_s→0 s·F(s). s·F(s)의 모든 극점이 좌반평면에 있을 때만 성립합니다. 초깃값 정리: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

분모 인수분해

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)

F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

가리기 규칙

(s + 6)를 곱하고 s = −6을 대입하세요. B항은 사라집니다.

A = (s + 22)/(s + 8) |_{s = −6} = 16/2 = 8

답

A = 8

(B = −7이므로 f(t) = 8·e^−6t − 7·e^−8t)

연습 방법

“이 강의 연습하기”는 실제 시험처럼 모든 주제의 문제를 섞어서 냅니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
모의고사는 제한 시간이 있고 힌트가 없으며, 끝나면 점수와 함께 전체 풀이를 검토할 수 있습니다.

이 강의의 계산기

역 라플라스 변환 계산기(부분분수)데시벨 계산기(dB, dBm, 소음 수준)보드 선도 계산기(이득 여유와 위상 여유)라플라스 변환 계산기