라플라스 변환쉬움
신호 f(t)의 라플라스 변환이 F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))이다. 최종값 정리를 이용하여 f(t)가 수렴하는 값 f(∞)을(를) 구하시오.
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
구하는 값: f(∞)
힌트 보기
- 최종값 정리: s → 0일 때 f(∞) = lim s·F(s).
- 먼저 s·F(s)의 모든 극점이 좌반평면에 있는지 확인하세요. 그래야 f(t)가 실제로 수렴합니다.
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
정답과 단계별 풀이 보기
라플라스 변환: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt는 미분을 s의 곱셈으로 바꿉니다: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). 기본 변환쌍: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²)이며, s → s + σ로 이동하면 시간 함수에 e−σt가 곱해집니다. 유리 함수 F(s)를 역변환하려면 부분분수로 나눕니다. 단순 극점 p의 유수는 A = [(s − p)·F(s)] (s = p에서)입니다. 최종값 정리: f(∞) = lims→0 s·F(s). s·F(s)의 모든 극점이 좌반평면에 있을 때만 성립합니다. 초깃값 정리: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
정리를 쓸 수 있는지 확인하기
이 정리는 f(t)가 수렴할 때만 성립합니다. 허수축이나 우반평면에 극점이 있으면 틀린 답이 나옵니다.
s·F(s)의 극점: s² + 2s + 23 = 0. 모두 좌반평면에 있습니다.
최종값
f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1.217
답
f(∞) = 1.217