계단 응답: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 계단 응답 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 1차 시스템, 2차 시스템의 매개변수, 물리 시스템과 설계.

무료 연습 문제쉬움
+−5 VR = 4.7 kΩC = 47 µFvC​

충전되지 않은 커패시터 C = 47 µF를 5 V 계단 전원에서 저항 R = 4.7 kΩ을 통해 충전한다. t = 220.9 ms에서의 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

R = 4.7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220.9 ms
V
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계단 응답 무료로 연습하기지금 계단 응답 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움1차 시스템
  2. 보통2차 시스템의 매개변수
  3. 어려움물리 시스템과 설계

계단 응답 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: RC·RL 과도 현상, 라플라스 변환

1계단 응답이란

계단은 t = 0에서 0에서 일정한 값으로 뛰어올라 그 뒤로 머무는 입력입니다. 히터를 켜거나, 가속 페달을 밟고 그대로 있는 것을 생각해 보세요.

계단 응답은 출력이 이를 어떻게 따라가는가입니다. 한 번에 뛸 수는 없습니다: 새로운 최종값 y(∞)를 향해 움직이다가 거기서 안정됩니다.

tyy(∞)ab

곡선 a는 매끄럽게 오르고 넘치지 않습니다. RC 회로나 가열되는 탱크 같은 1차 시스템입니다.

곡선 b는 넘치고, 몇 번 흔들린 뒤 안정됩니다. 자동차 현가 장치나 스프링에 매단 질량 같은 부족 감쇠 2차 시스템입니다.

최종값은 DC 이득 G(0)에서 나옵니다: 크기 U의 계단은 y(∞) = G(0)·U에서 안정됩니다. 이것이 라플라스 변환의 최종값 정리입니다.

자가 점검 시스템 G(s) = 3/(2s + 1)에 크기 4의 계단이 가해집니다. 최종값 y(∞)는 얼마입니까?
  1. 12
  2. 3
  3. 4
  4. 6

답: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3이므로 y(∞) = 3·4 = 12입니다. 4는 이득을 잊은 값이고, 3은 계단 크기를 잊은 값이며, 6은 s = 0에서 사라지는 2s의 2로 나눈 값입니다.

21차 시스템

1차 시스템은 아래의 표준형을 가집니다. K는 정적 이득이고 τ는 초 단위의 시정수입니다.

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)

G(s)가 b/(s + a)로 쓰여 있으면 분자와 분모를 a로 나누세요. 그러면 K = b/a, τ = 1/a입니다.

ty(t)K·U0.63·K·Uτ2τ3τ4τ5τ
  • 1τ 뒤에 출력은 변화의 63%를, 3τ 뒤에 95%를, 5τ 뒤에 99% 넘게 이룹니다.
  • 최종값의 비율 x에 이르는 시간: t = −τ·ln(1 − x). 90%에는 t = τ·ln 10 = 2.3τ.
  • 10–90% 상승 시간은 tr = τ·ln 9 ≈ 2.2τ입니다.
  • RC 회로에서는 τ = R·C입니다. kΩ 곱하기 µF는 밀리초가 됨에 주의하세요.

응답을 측정하면 τ를 거꾸로 구할 수 있습니다. 시간 t에 출력이 비율 x에 이르렀다면 τ = −t/ln(1 − x)입니다.

풀이 예제

G(s) = 10/(s + 5)에 t = 0에서 크기 2의 계단이 가해집니다. 최종값과 그 90%에 이르는 시간을 구하시오.

1

표준형

분자와 분모를 5로 나누세요:

G(s) = 2/(0.2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0.2 s
2

최종값

y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3

90%에 이르는 시간

1 − e−t/τ = 0.9, 즉 e−t/τ = 0.1을 푸세요:

t = −τ·ln(0.1) = 0.2·2.303 = 0.461 s
답

y(∞) = 4이고 출력은 t ≈ 0.461 s 뒤에 90%에 이릅니다.

자가 점검 G(s) = 10/(s + 5)의 시정수는 얼마입니까?
  1. 0.2 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 5 s

답: 0.2 s. 2/(0.2s + 1)로 쓰면 시정수는 τ = 1/5 = 0.2 s입니다. 5 s는 τ와 a를 혼동한 값이고, 2는 이득 K이지 시간이 아닙니다.

32차 시스템

2차 시스템은 분모가 이차식입니다. 표준형과 비교하세요:

G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
  • 상수항이 ωn²이므로 고유 진동수는 ωn = √(상수항)이며 단위는 rad/s입니다.
  • s의 계수가 2ζωn이므로 감쇠비는 ζ = (s의 계수)/(2ωn)입니다.
  • 0 < ζ < 1이면 응답이 넘치고 진동합니다. ζ가 작을수록 오버슈트가 큽니다.

단위 계단에서 최종값은 G(0) = K/ωn²입니다. 다섯 개의 수가 응답의 모양을 기술합니다:

ty(t)y(∞)tp​ymax​%OSts​
ωd = ωn·√(1 − ζ²) tp = π/ωd
%OS = 100·e−ζπ/√(1 − ζ²) ts ≈ 4/(ζωn)
  • ωd는 감쇠 진동수입니다: 응답이 얼마나 빨리 진동하는가.
  • tp는 출력이 가장 높은 피크 시간입니다. %OS는 최종값 위로의 백분율 오버슈트입니다.
  • ts는 정착 시간으로, 그 뒤로 출력이 최종값의 2% 이내에 머뭅니다.
ReImσjωd​ωn​θ

두 극점은 s = σ ± jωd이고 실수부는 σ = −ζωn입니다. 원점에서의 거리는 ωn이며 cos θ = ζ입니다.

자가 점검 어떤 시스템의 분모가 s² + 4s + 25입니다. 감쇠비 ζ는 얼마입니까?
  1. 0.08
  2. 0.4
  3. 0.8
  4. 2

답: 0.4. ωn = √25 = 5이고 2ζωn = 4이므로 ζ = 4/(2·5) = 0.4입니다. 0.8은 2를 잊은 값이고, 0.08은 ωn 대신 ωn²으로 나눈 값이며, 2는 ζωn입니다.

4단계별 방법

  1. 차수를 정하세요: 분모가 1차이면 1차 시스템, 2차이면 2차 시스템입니다.
  2. 1차: G(s)를 K/(τs + 1)로 쓰고 K와 τ를 읽으세요.
  3. 2차: 분모를 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요. 먼저 ωn, 그다음 ζ를 구하세요.
  4. 최종값 y(∞) = G(0)·U를 구하세요.
  5. 묻는 것에 맞는 공식을 쓰세요: y(t), 시간, tp, %OS, ts 또는 σ.
  6. 단위를 확인하세요: 시간은 초, ω는 rad/s, e…와 π 공식의 각은 라디안.

5풀이 예제

이것은 전형적인 보통 문제입니다. 열어 보기 전에 각 단계를 시도해 보세요.

풀이 예제

G(s) = 16/(s² + 4s + 16)에 단위 계단이 가해집니다. ζ, ωn, 백분율 오버슈트, 피크 시간을 구하시오.

1

고유 진동수

상수항은 ωn² = 16입니다.

ωn = √16 = 4 rad/s
2

감쇠비

s의 계수는 2ζωn = 4입니다.

ζ = 4/(2·4) = 0.5

ζ가 0과 1 사이이므로 응답이 넘칩니다.

3

백분율 오버슈트

ζπ/√(1 − ζ²) = 0.5·π/√0.75 = 1.814
%OS = 100·e−1.814 = 16.3%
4

피크 시간

ωd = 4·√(1 − 0.25) = 3.464 rad/s
tp = π/3.464 = 0.907 s
5

답 검산

최종값은 G(0) = 16/16 = 1이므로 피크는 약 1.163입니다. 앞 절의 그림이 이 같은 시스템을 씁니다.

정착 시간 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s는 당연히 피크보다 늦습니다.

답

ωn = 4 rad/s, ζ = 0.5, %OS ≈ 16.3%, tp ≈ 0.907 s.

6흔한 실수

  • 상승을 선형으로 취급하기. 지수함수는 0.9τ가 아니라 2.3τ 뒤에 90%에 이릅니다: t = −τ·ln(1 − x)를 쓰세요.
  • ln(1 − x) 대신 ln(x)를 쓰기. 로그는 아직 모자란 부분을 취합니다.
  • b/(s + a)에서 τ = a로 읽기. 시정수는 1/a입니다.
  • ωn² 을 ωn으로 쓰기. 상수항의 제곱근을 취하세요.
  • 2ζωn에서 2를 잊거나, tp = π/ωd에서 ωd 대신 ωn을 쓰기.
  • 백분율(16.3%)을 물었는데 오버슈트를 분수(0.163)로 답하기.
자가 점검 G(s) = 2/(s + 4)에 계단이 가해집니다. 출력이 최종값의 90%에 이르는 데 얼마나 걸립니까?
  1. 0.026 s
  2. 0.225 s
  3. 0.576 s
  4. 9.21 s

답: 0.576 s. τ = 1/4 = 0.25 s이고 t = −0.25·ln(0.1) = 0.576 s입니다. 0.225 s는 상승을 선형(0.9τ)으로 취급한 값입니다. 0.026 s는 ln(0.1) 대신 ln(0.9)를 쓴 값입니다. 9.21 s는 τ 대신 a = 4를 쓴 값입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 1차 시스템. y(∞), 주어진 시간의 출력, 어떤 비율에 이르는 시간, 측정된 점으로부터 τ, 또는 RC 회로의 충전 시간을 구합니다.
  • 보통: 2차 파라미터. G(s) = K/(s² + a₁s + a₀)로부터 ζ, ωn, %OS, tp, ts 또는 극점의 실수부 σ를 구합니다.
  • 어려움: 물리 시스템과 설계. 질량–스프링–댐퍼나 RLC 회로, 또는 측정한 오버슈트와 피크 시간으로부터 거꾸로 구하는 ζ와 ωn.

질량 m, 댐퍼 c, 스프링 k에서 방정식 m·x″ + c·x′ + k·x = F는 다음을 줍니다:

ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

오버슈트로부터 거꾸로 구하려면 %OS 공식을 ζ에 대해 푸세요:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

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예제 풀이

예제 1쉬움
t (s)y(t)y(∞) = ?

1차 시스템 G(s) = 2/(2s + 1)에 t = 0에서 크기 2의 계단 입력이 정지 상태에서 가해진다. 출력의 최종값 y(∞)을(를) 구하시오.

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

구하는 값: y(∞)

힌트 보기
  1. 최종값 정리: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
  2. G(0)은 직류 이득입니다.
  3. G(0) = 2.
정답과 단계별 풀이 보기

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

직류 이득

G(0) = 2

최종값

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

답

y(∞) = 4
예제 2보통
t (s)y(t)3?

어떤 시스템의 전달함수가 G(s) = 213/(s² + 8s + 71)이고 단위 계단 입력을 받는다. 계단 응답의 백분율 오버슈트 %OS을(를) 구하시오.

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

구하는 값: %OS (%)

힌트 보기
  1. 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하세요.
  2. ωₙ = √71 = 8.426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
  3. ζ = 0.4747.
정답과 단계별 풀이 보기

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

표준형과 비교하기

분모가 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 일치해야 합니다.

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8.426) = 0.4747

결과

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.694 = 18.37 %

답

%OS = 18.37 %
예제 3어려움
k = 800 N/mc = 9 N·s/mm = 2.5 kgF = 10 Nx(t)

질량 m = 2.5 kg이 스프링 k = 800 N/m과 점성 댐퍼 c = 9 N·s/m에 매달려 있다(m·x″ + c·x′ + k·x = F). 평형 상태로 정지해 있다가 일정한 힘 F = 10 N이 갑자기 가해진다. 변위가 가장 커지는 시간 tp을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

구하는 값: tp (s)

힌트 보기
  1. m으로 나누세요: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, 따라서 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km)).
  2. ωₙ = 17.89 rad/s, ζ = 0.1006.
  3. 최종 변위는 F/k = 12.5 mm입니다.
정답과 단계별 풀이 보기

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

고유 진동수와 감쇠비

ωₙ = √(k/m) = √(800/2.5) = 17.89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2.5)) = 0.1006

결과

ωd = 17.8 rad/s
tp = π/ωd = 0.1765 s

답

tp = 0.1765 s

질문과 답변

계단 응답: 무엇인가요?

곡선 a는 매끄럽게 오르고 넘치지 않습니다. RC 회로나 가열되는 탱크 같은 1차 시스템입니다.

곡선 b는 넘치고, 몇 번 흔들린 뒤 안정됩니다. 자동차 현가 장치나 스프링에 매단 질량 같은 부족 감쇠 2차 시스템입니다.

계단 응답 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

계단 응답에서 자주 하는 실수는?
  • 출력은 U가 아니라 K·U에 수렴합니다. 직류 이득은 G(0) = 2입니다.
  • 오버슈트를 퍼센트로 나타내세요. 100을 곱하세요.
  • 지수는 −ζπ/√(1 − ζ²)입니다.
계단 응답 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 1차 시스템
  • 보통: 2차 시스템의 매개변수
  • 어려움: 물리 시스템과 설계

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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