LC 공진, Q 인자, 대역폭: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 LC 공진, Q 인자, 대역폭 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 고유 주파수, Q, 에너지, 직렬 및 병렬 RLC, 설계, 손실, 감쇠.

무료 연습 문제쉬움
C = ?L = 4.7 mH

L = 4.7 mH인 LC 회로가 50 kHz에서 공진해야 합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

L = 4.7 mHf0 = 50 kHz
nF
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LC 공진, Q 인자, 대역폭 무료로 연습하기지금 LC 공진, Q 인자, 대역폭 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움고유 주파수, Q, 에너지
  2. 보통직렬 및 병렬 RLC
  3. 어려움설계, 손실, 감쇠

LC 공진, Q 인자, 대역폭 문제 푸는 방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

흔한 실수

  • ω₀(rad/s)와 f₀(Hz)를 혼동하는 것: 둘은 2π만큼 차이가 납니다.
  • 병렬 회로에 직렬 회로의 Q 공식을 쓰는 것. 병렬에서는 R이 클수록 Q가 높습니다.
  • f₀를 f₁과 f₂의 한가운데에 두는 것: f₀는 둘의 기하평균 √(f₁f₂)입니다.
  • µH, nF, pF를 H와 F로 바꾸는 것을 잊는 것.

핵심 공식

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

LC 공진, Q 인자, 대역폭 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 교류 임피던스와 페이저

1LC 회로에서 일어나는 일

커패시터를 충전하고 인덕터에 연결합니다. 커패시터가 코일에 전류를 흘립니다. 전류는 자기장을 만들고, 커패시터가 비었을 때도 자기장이 전류를 계속 흐르게 하므로 커패시터는 반대 방향으로 충전됩니다. 그런 다음 모든 과정이 거꾸로 진행됩니다.

C+−Li

에너지는 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 진자가 높이와 속도 사이를 오가는 것과 같습니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 그대로입니다.

자가 점검 커패시터 전압이 0인 순간, 이상적인 LC 회로의 에너지는 어디에 있습니까?
  1. 모두 인덕터에 있으며 전류는 최댓값이다
  2. 모두 커패시터에 있다
  3. 열로 사라졌다
  4. 절반은 C에, 절반은 L에 있다

답: 모두 인덕터에 있으며 전류는 최댓값이다. v = 0이면 커패시터에는 ½Cv² = 0이 저장되므로 모든 에너지는 인덕터의 ½Li²이며, 전류가 최대입니다. 이상적인 회로에는 저항이 없으므로 손실이 없습니다.

2고유 주파수

회로는 L과 C의 리액턴스가 같아지는 주파수 ωL = 1/(ωC)에서 진동합니다:

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

L = 10 mH, C = 1 µF이면 LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s, f0 = 1592 Hz입니다. 에너지는 주기 T = 1/f0의 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

에너지로부터 최대 전류도 구할 수 있습니다: ½CV0² = ½LImax²이므로 Imax = V0√(C/L)입니다.

자가 점검 C를 두 배로 하면 f0는 어떻게 됩니까?
  1. f0/√2, 즉 약 0.71·f0로 떨어진다
  2. √2배로 증가한다
  3. 두 배가 된다
  4. 절반이 된다

답: f0/√2, 즉 약 0.71·f0로 떨어진다. f0는 1/√C에 비례하므로 C를 두 배로 하면 √2로 나뉩니다. 절반이 되려면 C가 네 배여야 합니다.

3Q 인자와 대역폭

실제 회로는 저항에서 에너지를 잃습니다. 품질 계수 Q는 저장된 에너지와 손실을 비교한 값입니다: Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지). Q가 높으면 공진 피크가 날카롭습니다.

f|I|0.707f0​f1​f2​BW

대역폭은 전류가 최댓값의 0.707배가 되는 반전력 주파수 f1과 f2 사이에 있는 피크의 폭입니다:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • 직렬 RLC: Q = (1/R)·√(L/C), BW = R/(2πL). 직렬 저항이 작으면 Q가 높습니다.
  • 병렬 RLC: Q = R·√(C/L), BW = 1/(2πRC). 병렬 저항이 크면 Q가 높습니다.

4단계별 방법

  1. L과 C를 H와 F로 바꾼 다음 ω0 = 1/√(LC)와 f0 = ω0/(2π)를 구하시오.
  2. R이 직렬인지 병렬인지 판단하고, 그에 맞는 Q 공식을 사용하세요.
  3. 대역폭 BW = f0/Q를 구하시오.
  4. 반전력 주파수는 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))를 쓰세요. Q가 높으면 f0 ∓ BW/2도 가까운 값입니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

직렬 RLC 회로가 R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF입니다. 공진 주파수, 품질 계수, 대역폭, 반전력 주파수를 구하시오.

1

회로 살펴보기

RLC

세 소자에 같은 전류가 흐르므로 직렬 회로입니다.

2

공진 주파수

f0 = 1/(2π√(0.01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

선택도

Q = (1/10)·√(0.01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

대역폭

BW = f0/Q = 1592/10 = 159.2 Hz

확인: R/(2πL) = 10/(2π·0.01) = 159.2 Hz.

5

반전력 주파수

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0.05) = 1514 Hz와 1673 Hz

확인: 1673 − 1514 = 159 Hz이고, √(1514·1673) = 1592 Hz.

답

f0 = 1.59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1.51 kHz, f2 = 1.67 kHz.

6흔한 실수

  • ω0(rad/s)와 f0(Hz)를 혼동하는 것: 둘은 2π만큼 차이가 납니다.
  • 병렬 회로에 직렬 회로의 Q 공식을 쓰는 것.
  • f0를 f1과 f2의 한가운데에 두는 것: 실제 값은 둘의 기하평균입니다.
  • mH, µH, nF, pF를 H와 F로 바꾸는 것을 잊는 것.
자가 점검 병렬 RLC 회로가 R = 10 kΩ, L = 10 mH, C = 1 µF입니다. Q는 얼마입니까?
  1. 0.01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

답: 100. 병렬에서는 Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100입니다. 직렬 공식 (1/R)·√(L/C)는 0.01을 주고, 제곱근을 빼먹으면 1이 됩니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 고유 주파수, Q, 에너지. f0나 주어진 f0에 필요한 C, Q로부터 대역폭 또는 대역폭으로부터 Q, 저장된 에너지나 최대 전류를 구합니다.
  • 보통: 직렬 및 병렬 RLC. 직렬 또는 병렬 회로의 Q나 대역폭, 정확한 반전력 주파수, 에너지가 C에서 L로 이동하는 데 걸리는 시간, 주어진 커패시터 전압에서 L에 저장된 에너지를 구합니다.
  • 어려움: 설계, 손실, 감쇠. 대역폭에 맞는 R이나 필터에 맞는 C를 정하고, 한 주기당 손실 에너지, 탱크 회로의 동적 저항, 진폭이 절반이 되기까지의 주기 수, 두 반전력 주파수로부터 Q를 구합니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
C = ?L = 47 µH

L = 47 µH인 LC 회로가 500 kHz에서 공진해야 합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

구하는 값: C (nF)

힌트 보기
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s.
정답과 단계별 풀이 보기

LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

각주파수

ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s

정전 용량

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9.87 × 10¹²·4.7 × 10⁻⁵) = 2.156 × 10⁻⁹ F = 2.156 nF

답

C = 2.156 nF
예제 2보통
V2 Ω2.2 mH220 nF

직렬 RLC 회로의 R = 2 Ω, L = 2.2 mH, C = 220 nF입니다. 대역폭 BW을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 2 ΩL = 2.2 mHC = 220 nF

구하는 값: BW (Hz)

힌트 보기
  1. 대역폭은 f₀/Q입니다.
  2. 직렬 RLC에서는 BW = R/(2πL)로 간단해집니다: C는 사라집니다.
  3. R/L = 909.1 rad/s.
정답과 단계별 풀이 보기

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

rad/s 단위의 대역폭

R/L = 2/0.0022 = 909.1 rad/s

Hz 단위의 대역폭

BW = 909.1/(2π) = 144.7 Hz = 144.7 Hz

답

BW = 144.7 Hz

f₀ = 7.234 kHz이면 Q = 50입니다.

예제 3어려움
C = 10 nFr = 0.5 ΩL = 47 µH

병렬 탱크 회로가 10 nF 커패시터와 권선 저항 0.5 Ω의 47 µH 코일로 이루어져 있습니다. 공진에서 이 회로는 저항처럼 동작하며 동적 저항은 RD = L/(C·r)입니다. RD을(를) kΩ 단위로 구하시오.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0.5 Ω

구하는 값: RD (kΩ)

힌트 보기
  1. 탱크 회로는 공진에서 작은 전류만 끌어오므로 임피던스가 큽니다.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
정답과 단계별 풀이 보기

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

동적 저항

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0.5) = 9400 Ω = 9.4 kΩ

Q로 확인

Q = (1/r)·√(L/C) = 137.1, Q²·r = 9400 Ω

답

RD = 9.4 kΩ

질문과 답변

LC 공진, Q 인자, 대역폭: 무엇인가요?

커패시터를 충전하고 인덕터에 연결합니다. 커패시터가 코일에 전류를 흘립니다. 전류는 자기장을 만들고, 커패시터가 비었을 때도 자기장이 전류를 계속 흐르게 하므로 커패시터는 반대 방향으로 충전됩니다. 그런 다음 모든 과정이 거꾸로 진행됩니다.

에너지는 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 진자가 높이와 속도 사이를 오가는 것과 같습니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 그대로입니다.

LC 공진, Q 인자, 대역폭 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.
LC 공진, Q 인자, 대역폭에서 자주 하는 실수는?
  • ω₀(rad/s)와 f₀(Hz)를 혼동하는 것: 둘은 2π만큼 차이가 납니다.
  • 병렬 회로에 직렬 회로의 Q 공식을 쓰는 것. 병렬에서는 R이 클수록 Q가 높습니다.
  • f₀를 f₁과 f₂의 한가운데에 두는 것: f₀는 둘의 기하평균 √(f₁f₂)입니다.
  • µH, nF, pF를 H와 F로 바꾸는 것을 잊는 것.
LC 공진, Q 인자, 대역폭 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 고유 주파수, Q, 에너지
  • 보통: 직렬 및 병렬 RLC
  • 어려움: 설계, 손실, 감쇠

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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