교류 임피던스와 페이저: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 교류 임피던스와 페이저 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 직렬 RL, 직렬 RLC, 커패시터 전압과 공진.

무료 연습 문제쉬움
120 V50 HzR = 40 ΩL = 150 mH

직렬 RL 회로가 120 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 저항 양단의 실효 전압 VR을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mH
V
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교류 임피던스와 페이저 무료로 연습하기지금 교류 임피던스와 페이저 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움직렬 RL
  2. 보통직렬 RLC
  3. 어려움커패시터 전압과 공진

교류 임피던스와 페이저 문제 푸는 방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

흔한 실수

  • ω 대신 f를 쓰는 것.
  • 임피던스를 복소수 값이 아니라 크기로 더하는 것.
  • 복소 임피던스에서 용량성 리액턴스가 음수라는 것을 잊는 것.

핵심 공식

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

교류 임피던스와 페이저 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 저항의 직렬·병렬

1교류와 임피던스란 무엇인가

상용 전원은 교류(AC)입니다. 전압이 초당 여러 번 사인파처럼 오르내립니다.

주파수 f는 초당 완전한 진동의 횟수이며 단위는 헤르츠(Hz)입니다. 상용 전원은 유럽에서 50 Hz, 북미에서 60 Hz입니다.

교류 계산에는 흔히 각주파수를 씁니다.

ω = 2π·f (rad/s)

교류 전압과 전류는 보통 실효값(rms)으로 줍니다. 실효값은 같은 값의 직류와 같은 가열 일을 합니다. “230 V” 상용 전원은 230 V rms를 뜻합니다.

교류 회로에서는 저항뿐 아니라 인덕터와 커패시터도 전류를 제한합니다. 이들을 합친 효과를 임피던스 Z라 하며 단위는 옴입니다.

자가 점검 전원이 50 Hz로 동작한다. 각주파수 ω는 얼마인가?
  1. 157 rad/s
  2. 314 rad/s
  3. 50 rad/s
  4. 7.96 rad/s

답: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s입니다. f 자체(50)를 쓰거나 2π로 나누는 것(7.96)이 흔한 실수이고, 157은 인수 2를 잊은 값입니다.

2인덕터와 커패시터의 리액턴스

인덕터와 커패시터는 주파수에 따라 달라지는 방식으로 교류에 저항합니다. 이렇게 주파수에 의존하는 방해를 리액턴스 X라 하며 단위는 옴입니다.

XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
  • 인덕터는 빠른 변화를 막습니다. 리액턴스 XL은 주파수와 함께 커집니다. 직류(f = 0)에서는 그냥 도선입니다.
  • 커패시터는 직류를 막지만 빠른 변화는 통과시킵니다. 리액턴스 XC는 주파수가 오르면 작아집니다.

항상 L은 헨리, C는 패럿으로 쓰세요: 100 mH = 0.1 H, 10 µF = 10·10−6 F.

자가 점검 50 Hz에서 100 mH 인덕터의 리액턴스는 얼마인가?
  1. 0.0318 Ω
  2. 31.4 Ω
  3. 5 Ω
  4. 5000 Ω

답: 31.4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0.1 = 31.4 Ω입니다. ω 대신 f를 쓰면 5 Ω이 되고, mH를 H로 바꾸는 것을 잊으면 5000 Ω이 됩니다.

3임피던스와 위상각

저항에서는 전압과 전류가 함께 오르내립니다. 인덕터에서는 전류가 전압보다 4분의 1주기 뒤처지고, 커패시터에서는 4분의 1주기 앞섭니다.

이 위상차 때문에 R과 X를 보통의 수처럼 더할 수 없습니다. 직각으로 더하며, j를 쓴 복소수로 씁니다.

Z = R + j·(XL − XC)
RXL​|Z|φ

임피던스의 크기와 각도는 직각삼각형에서 나옵니다.

|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)

옴의 법칙은 크기로 성립합니다: I = V / |Z|. 각 φ는 전류가 전압보다 얼마나 뒤처지는지 알려 줍니다. φ가 양수이면 유도성(전류가 뒤처짐)이고, 음수이면 용량성입니다.

자가 점검 직렬 회로에서 R = 30 Ω, XL = 40 Ω이다. |Z|는 얼마인가?
  1. 10 Ω
  2. 2500 Ω
  3. 50 Ω
  4. 70 Ω

답: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω입니다. 둘을 더하는 것(70 Ω)은 직각을 무시한 것이고, 2500은 제곱근을 잊은 값입니다.

4단계별 방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2π·f.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC). H와 F를 쓰세요.
  3. 합성 리액턴스 X = XL − XC를 구하세요(직렬 회로).
  4. |Z| = √(R² + X²)을 구하고, 필요하면 φ = arctan(X/R)을 구하세요.
  5. 옴의 법칙을 쓰세요: I = V/|Z|. 그러면 한 부분 양단의 전압은 I에 그 R 또는 X를 곱한 값입니다.

직렬 회로에서는 모든 부분에 같은 전류가 흐릅니다. 그래서 I를 먼저 구해 어디에나 쓸 수 있습니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

R = 50 Ω, L = 100 mH인 직렬 RL 회로가 120 V(rms), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. |Z|, 실효 전류 I, 위상각 φ를 구하시오.

1

회로 살펴보기

120 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

커패시터가 없으므로 XC = 0입니다.

2

각주파수와 리액턴스

ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
3

임피던스

50 Ω37.7 Ω62.6 Ωφ
|Z| = √(50² + 37.7²) = 62.6 Ω
4

전류와 위상각

I = V / |Z| = 120 / 62.6 = 1.92 A
φ = arctan(37.7 / 50) = 37.0°

각이 양수이므로 유도성 회로에서 예상되듯 전류가 전압보다 뒤처집니다.

5

답 검산

저항은 1.92·50 = 95.8 V를, 인덕터는 1.92·37.7 = 72.2 V를 가집니다. 보통의 수로 더하면 168 V로 전원보다 큽니다.

직각으로 더하면 맞습니다: √(95.8² + 72.2²) = 120 V로 전원 전압입니다.

답

|Z| = 62.6 Ω, I = 1.92 A, φ = 37.0°(전류가 뒤처짐).

6흔한 실수

  • XL과 XC에 ω = 2πf 대신 f를 쓰는 것.
  • R, XL, XC를 보통의 수처럼 더하는 것. R은 X와 직각을 이루고, XL과 XC는 서로 반대 방향입니다.
  • 용량성 리액턴스는 뺀다는 것을 잊는 것: X = XL − XC.
  • L을 mH로, C를 µF로 두거나, φ를 도로 원하는데 계산기를 라디안으로 맞춰 쓰는 것.
자가 점검 직렬 RLC 회로에서 R = 40 Ω, XL = 50 Ω, XC = 20 Ω이다. |Z|는 얼마인가?
  1. 110 Ω
  2. 50 Ω
  3. 70 Ω
  4. 80.6 Ω

답: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω이므로 |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω입니다. XC를 빼지 않고 더하면 √(40² + 70²) = 80.6 Ω이 되고, 110 Ω은 모두를 그냥 숫자로 더한 값입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 50 Hz 또는 60 Hz 전원에 연결된 직렬 RL 회로입니다. |Z| 또는 실효 전류 I를 구합니다.
  • 보통: 여러 주파수에서의 직렬 RLC 회로입니다. 전류 I 또는 위상각 φ를 구하며, XC가 XL보다 크면 φ는 음수입니다.
  • 어려움: 커패시터 전압, 전류 또는 공진 주파수를 구하는 직렬 RLC 회로입니다.

커패시터 전압은 먼저 I를 구한 다음 VC = I·XC로 계산합니다. 공진 근처에서는 전원 전압보다 커질 수 있습니다.

공진에서는 XL = XC이므로 서로 상쇄되어 |Z| = R이 됩니다. 이 결과는 전원 주파수와 관계없습니다:

f0 = 1 / (2π·√(L·C))

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예제 풀이

예제 1쉬움
V100 HzC = 1 µF

100 Hz에서 1 µF 커패시터의 리액턴스 XC을(를) 구하시오.

C = 1 µFf = 100 Hz

구하는 값: XC (Ω)

힌트 보기
  1. L과 C를 리액턴스로 바꿉니다: XL = 2πfL, XC = 1/(2πfC).
  2. 먼저 µF를 F로 바꾸세요: 10⁻⁶을 곱합니다.
  3. ω = 628.3 rad/s.
정답과 단계별 풀이 보기

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

답

XC = 1592 Ω
예제 2보통
Vf0​ = 1000 HzRL = 200 mHC = ?

L = 200 mH인 직렬 RLC 회로가 1000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 1000 HzL = 200 mH

구하는 값: C (µF)

힌트 보기
  1. 공진 시 XL = XC이므로 f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. 정리하면: C = 1/((2πf₀)²·L).
  3. (2πf₀)² = 3.948 × 10⁷ s⁻².
정답과 단계별 풀이 보기

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.2) = 0.1267 µF

답

C = 0.1267 µF
예제 3어려움
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

직렬 RLC 회로의 R = 20 Ω, L = 200 mH, C = 1 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

구하는 값: Q

힌트 보기
  1. 먼저 공진 주파수 f₀ = 1/(2π√(LC))를 구합니다.
  2. Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
  3. f₀ = 355.9 Hz, Q = 22.36.
정답과 단계별 풀이 보기

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.2·1·10⁻⁶)) = 355.9 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.2/(1·10⁻⁶)) = 22.36

답

Q = 22.36

질문과 답변

교류 임피던스와 페이저: 무엇인가요?

상용 전원은 교류(AC)입니다. 전압이 초당 여러 번 사인파처럼 오르내립니다.

교류 계산에는 흔히 각주파수를 씁니다.

교류 임피던스와 페이저 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
교류 임피던스와 페이저에서 자주 하는 실수는?
  • ω 대신 f를 쓰는 것.
  • 임피던스를 복소수 값이 아니라 크기로 더하는 것.
  • 복소 임피던스에서 용량성 리액턴스가 음수라는 것을 잊는 것.
교류 임피던스와 페이저 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 직렬 RL
  • 보통: 직렬 RLC
  • 어려움: 커패시터 전압과 공진

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

이 주제의 앞뒤 주제

먼저 배우기

저항의 직렬·병렬

다음 단계

교류 전력과 역률보드 선도와 여유LC 공진, Q 인자, 대역폭변압기

계산기

RLC 임피던스 계산기

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