마디 해석: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 마디 해석 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 미지 마디 1개, 미지 마디 2개, 마디 2개, 전원 3개.

무료 연습 문제쉬움
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

마디 해석법을 이용해 화살표 방향으로 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
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마디 해석 무료로 연습하기지금 마디 해석 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움미지 마디 1개
  2. 보통미지 마디 2개
  3. 어려움마디 2개, 전원 3개

마디 해석 문제 푸는 방법

  1. 기준 마디(접지)를 정하고 나머지 마디 전압에 이름을 붙이세요.
  2. 미지의 마디마다 키르히호프 전류 법칙을 쓰세요. 각 가지로 나가는 전류의 합은 들어오는 전류의 합과 같습니다.
  3. 모든 가지 전류를 (Va − Vb)/R로 나타내세요.
  4. 연립방정식을 푼 다음 필요한 전류를 구하세요.

흔한 실수

  • 두 마디 방정식에서 가지 전류의 부호를 섞어 쓰는 것.
  • 기준 마디에 대한 방정식을 세우는 것.
  • 마디로 들어오거나 나가는 전류원을 빠뜨리는 것.

핵심 공식

키르히호프 전류 법칙
ΣIin = ΣIout
가지 전류
I = (Va − Vb)/R
기준 마디
Vground = 0

마디 해석 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 저항의 직렬·병렬

1마디(노드) 해석이란 무엇인가

마디 해석은 회로의 모든 전압을 구하는 표준 방법입니다. 직렬과 병렬 규칙으로 충분하지 않을 때도 쓸 수 있습니다.

마디는 회로의 둘 이상의 부분이 만나는 점입니다. 도선을 따라서는 전압 강하가 없으므로 맨 도선 한 구간 전체가 하나의 마디입니다.

마디 하나를 기준(접지)으로 골라 0 V를 줍니다. 다른 모든 마디 전압은 그 마디에서 잽니다.

해수면에서 잰 지도의 높이를 생각해 보세요. 물은 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르고, 관 속의 흐름은 양 끝의 높이 차에 달려 있습니다.

마디 전압을 알면 옴의 법칙이 모든 전류를 줍니다. 따라서 필요한 미지수는 마디 전압뿐입니다.

자가 점검 정의상 전압이 0 V인 마디는 어느 것인가?
  1. 가장 큰 전원 옆의 마디
  2. 선택한 기준 마디(접지)
  3. 저항이 가장 많은 마디
  4. 전원이 없는 모든 마디

답: 선택한 기준 마디(접지). 기준 마디는 직접 골라 0 V라고 부릅니다. 다른 모든 마디 전압은 그것에서 잽니다.

2키르히호프 전류 법칙

전하는 마디에 쌓일 수 없습니다. 따라서 마디로 들어오는 모든 전류는 다시 나가야 합니다. 이것이 키르히호프의 전류 법칙(KCL)입니다.

ΣIin = ΣIout

예를 들어 3 A와 2 A가 마디로 들어오면, 다른 가지를 통해 모두 5 A가 나가야 합니다.

각 저항의 전류는 양 끝의 전압을 써서 옴의 법칙으로 씁니다.

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

이것은 a에서 b로 가는 전류입니다. 결과가 음수이면 전류는 실제로 b에서 a로 흐릅니다. 괜찮습니다. 부호를 유지하세요.

자가 점검 마디 a는 9 V이고 마디 b는 4 V이다. 5 Ω 저항이 둘을 잇는다. a에서 b로 흐르는 전류는 얼마인가?
  1. 1 A
  2. 1.8 A
  3. 2.6 A
  4. −1 A

답: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. 전압을 더하면 2.6 A, 순서를 바꾸면 −1 A이며, 1.8 A는 b의 전압을 무시한 값입니다.

3단계별 방법

  1. 기준 마디를 고르세요. 보통 맨 아래 도선을 고릅니다. 접지 기호로 표시하세요.
  2. 전압을 이미 아는 마디를 찾으세요. 전압원으로 접지에 이어진 마디는 그 전원의 전압입니다.
  3. 다른 마디마다 이름을 붙이세요(A, B, …). 그 전압 VA, VB, …가 미지수입니다.
  4. 미지의 마디마다 KCL을 쓰세요. 저항을 통해 나가는 전류의 합은 전류원이 밀어 넣는 전류와 같습니다.
  5. 각 저항 전류를 (V마디 − V다른 쪽 끝)/R로 쓰고 방정식을 푸세요.
  6. 문제가 묻는 가지 전류는 옴의 법칙으로 구하세요.

모든 저항 전류를 마디에서 나가는 것으로 쓰면 부호가 자동으로 정해집니다. 실제 방향을 먼저 추측할 필요가 없습니다.

미지의 마디마다 방정식이 하나 필요합니다. 기준 마디에는 방정식을 쓰지 마세요. 그 전압은 이미 알고 있습니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

마디 전압 VA와 전원에서 A로 가는 방향으로 R1을 지나는 전류 IR1을 구하시오.

1

회로 살펴보기

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

맨 아래 도선이 접지입니다. V1의 위쪽은 접지보다 15 V 높으므로 그 마디는 알려져 있습니다: 15 V.

마디 A만 미지이므로 방정식이 하나 필요합니다.

2

A에서 KCL 쓰기

A에서 저항 두 개가 나갑니다. R1은 15 V 마디로, R2는 접지로 갑니다. 전류원이 A로 1 A를 밀어 넣습니다.

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

VA 구하기

분수를 없애도록 양변에 6을 곱하세요.

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

R₁의 전류 구하기

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

결과가 양수이므로 1 A가 실제로 전원에서 A로 흐릅니다.

5

답 검산

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

R2에는 12/6 = 2 A가 접지로 흐릅니다. A로는 R1을 통해 1 A, 전류원에서 1 A가 들어옵니다.

들어오는 것이 2 A, 나가는 것이 2 A이므로 A에서 KCL이 성립합니다.

답

VA = 12 V이고 IR1 = 1 A입니다.

5미지의 마디가 둘

미지의 마디가 둘이면 마디마다 KCL 방정식을 하나씩 쓰고 두 방정식을 함께 풉니다.

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

마디 A에서는 저항 세 개 R1, R2, R3이 나갑니다. 마디 B에서는 저항 두 개가 나가고 전류원이 2 A를 밀어 넣습니다.

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

첫 번째 방정식에 6을, 두 번째 방정식에 3을 곱하세요.

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

두 방정식을 더하세요. VB 항이 소거되므로 6·VA = 24입니다.

VA = 4 V, VB = 5 V

R3이 두 방정식에 모두 나타남에 주목하세요. A에서는 (VA − VB), B에서는 (VB − VA)입니다. 방정식이 맞는지 빠르게 확인하는 방법입니다.

6흔한 실수

  • 공유 저항의 부호를 혼동하는 것: A에서는 (VA − VB)이지만 B에서는 (VB − VA)입니다.
  • 마디로 들어오거나 나가는 전류원을 잊는 것.
  • 기준 마디에 KCL 방정식을 쓰거나 알려진 마디를 미지로 취급하는 것.
  • 음의 전류의 마이너스 부호를 버리는 것. 음수 결과는 전류가 화살표와 반대로 흐른다는 뜻입니다.
자가 점검 마디 A에서 4 Ω 저항 하나는 접지로, 다른 4 Ω 저항은 12 V 마디로 간다. 2 A 전원이 A로 전류를 밀어 넣는다. VA는 얼마인가?
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

답: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2에서 2·VA − 12 = 8이므로 VA = 10 V입니다. 전원을 잊으면 6 V가 되고, A에서 나가는 것으로 취급하면 2 V가 됩니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 미지의 마디 A 하나, 전압원과 전류원 또는 두 번째 전압원. KCL 방정식 하나면 충분합니다.
  • 보통: 미지의 마디 A와 B, B에 전류원. 방정식 둘을 써서 함께 풉니다.
  • 어려움: 미지의 마디 둘과 전원 셋: 전압원 둘과 전류원 하나. 방법은 같고 항이 더 많습니다.

문제는 마디 전압, 또는 화살표 방향으로 저항 하나를 지나는 전류를 묻습니다.

가지 전류는 먼저 마디 전압을 구하세요. 그다음 화살표를 따라 I = (V시작 − V끝)/R을 쓰세요.

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예제 풀이

예제 1쉬움
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

그림과 같이 마디 A와 접지 사이에 세 가지가 연결되어 있다. 마디 해석법을 이용해 마디 전압 VA을(를) 구하시오.

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

구하는 값: VA (V)

힌트 보기
  1. 미지수는 마디 A뿐입니다. KCL 방정식 하나를 쓰세요: A에서 나가는 가지 전류의 합은 0입니다.
  2. 각 가지 전류는 (VA − Vk)/Rk입니다. VA 항을 한쪽으로 모으세요.
  3. Σ1/R = 0.9583 S.
정답과 단계별 풀이 보기

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

마디 A에서의 KCL

아래 도선을 접지로 잡습니다. 각 가지는 A에서 나가는 방향으로 (VA − Vk)/Rk의 전류가 흐르며, Vk는 그 가지 전원의 전압입니다(저항만 있으면 0). A에서 나가는 전류의 합은 0입니다.

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

VA 구하기

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12.5/0.9583 = 13.04 V

답

VA = 13.04 V
예제 2보통
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1.5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

A와 B 사이의 전압원 Vₛ는 + 단자가 B에 있으므로 VB − VA = Vₛ가 됩니다. 슈퍼노드를 이용한 마디 해석법으로 화살표처럼 A에서 B로 전압원을 지나는 전류 Ix을(를) 구하시오.

Is = 1.5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

구하는 값: Ix (A)

힌트 보기
  1. 접지가 아닌 두 마디 사이의 전압원은 그 차이를 고정합니다: VB − VA = Vs.
  2. A, B와 전원을 둘러싼 슈퍼노드에 대해 KCL 방정식 하나를 쓰세요: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
  3. VA = 1 V.
정답과 단계별 풀이 보기

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

슈퍼노드 만들기

A와 B 사이의 전압원에는 미지의 전류가 흐르므로 A나 B에서 따로 KCL을 쓸 수 없습니다. A, B와 전원을 하나의 슈퍼노드로 묶으세요. 들어오는 전류와 나가는 전류가 같습니다.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

풀기

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1.5
VA = (1.5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

전압원을 지나는 전류

전원을 A에서 B로 지나는 전류는 모두 마디 B에서 R₂를 통해 나갑니다.

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1.333 A

답

Ix = 1.333 A

결과가 음수이면 실제 전류는 화살표와 반대로 흐릅니다.

예제 3어려움
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

마디 해석법을 이용해 화살표 방향으로 R4에 흐르는 전류 IR4을(를) 구하시오.

V1 = 6 VIs = 0.5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

구하는 값: IR4 (A)

힌트 보기
  1. 아래 도선을 접지 (0 V)로 둡니다. 전압원에 바로 연결된 마디는 이미 알고 있으므로 미지수는 VA 와 VB입니다.
  2. A에서 KCL을 세웁니다: 각 저항에 대해 (VA − V다른 끝)/R을 쓰고, 그 합을 A(으)로 들어오는 전원 전류와 같게 놓습니다.
  3. 풀면 VA = 2.455 V. 그다음 IR4 = (화살표 꼬리 쪽 전압 − 머리 쪽 전압)/R4.
정답과 단계별 풀이 보기

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

마디 설정

접지는 아래 도선입니다. 알고 있는 마디 전압은 전원에서 바로 나옵니다 (V1 = 6 V, V2 = 9 V). 미지수: VA, VB.

마디 A에서 KCL

저항을 통해 A에서 나가는 전류는 전원이 A(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0.1333·VA − 0.05·VB = 0.3

마디 B에서 KCL

저항을 통해 B에서 나가는 전류는 전원이 B(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0.5)
−0.05·VA + 0.1333·VB = −0.05

풀기

Δ = (0.1333)(0.1333) − (−0.05)(−0.05) = 0.01528
VA = Δ1/Δ = 0.0375/0.01528 = 2.455 V
VB = Δ2/Δ = 0.008333/0.01528 = 0.5455 V

답

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0.5455 − 9)/20 = −0.4227 A

질문과 답변

마디 해석: 무엇인가요?

마디 해석은 회로의 모든 전압을 구하는 표준 방법입니다. 직렬과 병렬 규칙으로 충분하지 않을 때도 쓸 수 있습니다.

마디 하나를 기준(접지)으로 골라 0 V를 줍니다. 다른 모든 마디 전압은 그 마디에서 잽니다.

마디 해석 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 기준 마디(접지)를 정하고 나머지 마디 전압에 이름을 붙이세요.
  2. 미지의 마디마다 키르히호프 전류 법칙을 쓰세요. 각 가지로 나가는 전류의 합은 들어오는 전류의 합과 같습니다.
  3. 모든 가지 전류를 (Va − Vb)/R로 나타내세요.
  4. 연립방정식을 푼 다음 필요한 전류를 구하세요.
마디 해석에서 자주 하는 실수는?
  • 두 마디 방정식에서 가지 전류의 부호를 섞어 쓰는 것.
  • 기준 마디에 대한 방정식을 세우는 것.
  • 마디로 들어오거나 나가는 전류원을 빠뜨리는 것.
마디 해석 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 미지 마디 1개
  • 보통: 미지 마디 2개
  • 어려움: 마디 2개, 전원 3개

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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